Suponha que duas pessoas joguem o seguinte jogo: ambos devem...
Suponha que duas pessoas joguem o seguinte jogo: ambos devem escolher simultaneamente um número real (x e R), que satisfaça duas condições:
x ≥ 0 e x ≤ 100.
Se o número escolhido por um dos jogadores for igual à metade da média entre os dois números escolhidos por ambos, esse jogador ganha o jogo.
Assuma que o par (x1, x2) representa os números escolhidos pelos jogadores 1 e 2, respectivamente.
Logo, o equilíbrio de Nash será dado por
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Gabarito comentado
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>> Esta questão traz um enunciado extenso, cheio de informações, e se apresenta, aparentemente, como um exercício complexo. No entanto, vamos direto para as alternativas para compará-las com tudo que é dito anteriormente.
- Letra B (50,50)
MA = (50 + 50) / 2 = 100 / 2 = 50
MA / 2 = 50 / 2 = 25
>> Apenas aplicamos o descrito no enunciado para ver se algum dos jogadores ganhou o jogo, isto é, a "metade da média entre os dois números escolhidos por ambos". Nenhum deles escolheu o 25, logo nenhum ganhou o jogo.
- Letra C (25,50)
MA = (25 + 50) / 2 = 75 / 2 = 37,5
MA / 2 = 37,5 / 2 = 18,75
>> Mais uma vez, ninguém escolheu 18,75, ninguém ganhou.
- Letra D (50,25)
>> O resultado será o mesmo da alternativa anterior.
- Letra E (100,100)
MA = (100 + 100) / 2 = 200 / 2 = 100
MA / 2 = 100 / 2 = 50
>> Mais uma vez, ninguém escolheu 50, ninguém ganhou.
- Letra A (0,0)
MA = (0 + 0) / 2 = 0 / 2 = 0
MA / 2 = 0 / 2 = 0
>> Aqui, os dois jogadores escolheram 0 e, portanto, os dois obtiveram vitória no jogo (ou seja, houve um empate).
>> Como, no equilíbrio de Nash, cada jogador faz sua melhor escolha tendo em vista a escolha do oponente e estas escolhas são simultâneas e realizadas uma única vez conforme determinação do enunciado, o único resultado possível para esse jogo seria a letra A já que nessa combinação ambos vencerão o jogo (ocasionando um empate) e nas outras possibilidades de escolha nenhum dos jogadores ganha o jogo.
>> Este exercício da Teoria dos Jogos e Equilíbrio de Nash é um tanto diferente do normal, mas...
GABARITO DO PROFESSOR: LETRA A.
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O equilíbrio de Nash é um conceito da teoria dos jogos que descreve uma situação em que nenhum jogador tem incentivo para mudar sua estratégia, dada a estratégia dos outros jogadores. Em outras palavras, é uma situação em que cada jogador escolhe a melhor opção dada as escolhas dos outros jogadores e, portanto, não há nenhum jogador que possa melhorar sua posição mudando de estratégia sozinho.
Em suma, o Equilíbrio de Nash defende a tese de que um jogo não pode ser ganho de maneira unilateral. Ou seja, embora seja evidente que cada participante escolha aquilo que melhor o beneficiará, os resultados só podem ser maximizados a depender das decisões adversárias.
Vamos entender como o conceito se comporta na prática para facilitar o seu entendimento.
O exemplo mais famoso é chamado de Dilema dos Prisioneiros: um caso em que dois acusados podem ficar em silêncio sobre um crime ou entregar o seu parceiro. Abaixo, as possíveis consequências das decisões individuais.
- Ambos entregam: os dois prisioneiros são condenados a cinco anos de prisão.
- Ambos negam: os dois criminosos são condenados a apenas um ano de prisão.
- Um entrega o parceiro e o outro não: aquele que entregar o parceiro ficará livre, enquanto que o outro pega dez anos de prisão.
Levando em consideração o cenário apresentado, é evidente que a melhor opção seria ambos negarem o crime, pegando penas reduzidas. Só que há uma possibilidade de liberdade que influencia a tomada de decisão: é o que levará cada criminoso a entregar o seu parceiro e ambos serão presos por cinco anos. É o resultado do Equilíbrio de Nash.
Aplicando essa teoria para a questão, podemos avaliar da seguinte forma
0 - negar o crime
50 ou 25 - entregar o parceiro e o outro não
100 - ambos entregarem o parceiro
fazendo essa analogia, bem forçada kkkkk, podemos chegar a conclusão de que a melhor opção, ou seja, o equilíbrio de nash, seria (0,0)
obs: eu errei a questão na prova e aqui, fiquei um tempão pensando sobre ela e achei essa solução meio maluca pra tentar entender a FGV. Então, me desculpa se eu falei alguma besteira, só estou tentando ajudar. vlw!
Se o outro escolheu 0, então nós dois ganhamos se eu escolher 0, se o outro escolheu outro número x eu só ganharia se escolhesesse x/3, e como se trata de um número real, a probabilidade seria 0.
Ou seja, se eu escolher qualquer número diferente de zero tenho probabilidade 0 de ganhar, logo eu escolho 0, o mesmo raciocinio se aplica ao outro, logo ambos deveriam escolher 0.
Melhor resposta para 1: x(1) = {[x(1)+x(2)]/2}/2
Melhor resposta para 2 é análogo. Resolvendo, x(1)=x(2)=0.
Para resolver essa questão, não precisava saber teoria dos jogos, era só ver a única alternativa que encaixava nos critérios que ele deu. Muito estranho inclusive.
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