Em um instante inicial, em um tanque com 500 L de ág...

Seja dm/dt a função que representa a variação da massa de corante pelo tempo. Esta tem que ser igual a taxa de entrada de água com corante menos a taxa que a água misturada que sai.

dm/dt=taxaentrada-taxasaída

Taxaentrada: concentração × vazãoentrada

Taxasaída:concentração × vazãosaída

Taxa entrada:0,200kg/L×5L/min ou 1kg/min

Taxa de saída:m/500L×5L/min ou mkg/100min

Temos uma e.d.o de primeira ordem.

dm/dt=1-m/100

dm/dt+m/100=1

Farei por fator linear, mas também pode fazer por fator integrante.

Seja r=dm/dt, temos

r+1/100=0

r=-1/100

Logo, f(t)=A×e^(-t/100)+C

Onde f(t) representa a função da massa de corante em relação ao tempo.

Quando t=0 min f(t)=0kg, portanto,

0=A×1+C ➞ A=-C

f(t)=Ae^(-t/100)-A

Ao derivarmos f(t) pelo tempo, retornamos à equação lá de cima, dm/dt.

f(t)'=-1/100×Ae^(-t/100)

dm/dt=-1/100Ae^(-t/100)+1/100×[Ae^(-t/100)-A]=1

➞

-A/100=1➞A=-100.

Finalmente, f(t)=-100e^(-t/100)+100.

Para f(t) ser igual a 30kg, t será:

30=-100e^(-t/100)+100

100e^(-t/100)=70

e^(-t/100)=7/10

ln[e^(-t/100)]=ln(7/10)

-t/100=ln(7/10)

t=100ln(10/7)

GABARITO B.

OBS.: através desse vídeo tive bases para entender a questão:

https://youtu.be/RB0JSpU35hs?si=Cu6TQwoJWYVTdpEM