Sabe-se que Lucas tem 5 anos a mais que Rafael e que o quadr...

Alternativa Correta: C - 15

Tema Central da Questão:

Esta questão avalia o conhecimento do aluno sobre proporções e álgebra básica, uma parte importante da aritmética. A habilidade de resolver problemas relacionados às proporcionalidades é essencial em diversos contextos de concursos públicos.

Resumo Teórico:

Para resolver este tipo de problema, é necessário entender a relação entre proporções e equações quadráticas. A proporção é uma igualdade entre duas razões, e neste caso, estamos lidando com as idades de duas pessoas. Quando dizemos que o quadrado da idade de Lucas está para o quadrado da idade de Rafael como 9 está para 4, estabelecemos uma relação proporcional entre essas duas idades ao quadrado.

Justificativa da Alternativa Correta:

Vamos definir a idade de Rafael como R. Então, a idade de Lucas é R + 5. Segundo o enunciado, temos a proporção:

\((R + 5)^2 : R^2 = 9 : 4\)

Podemos escrever isso em forma de equação:

\(\frac{(R + 5)^2}{R^2} = \frac{9}{4}\)

Resolvendo a equação:

\(4(R + 5)^2 = 9R^2\)

Expandindo e simplificando:

\(4(R^2 + 10R + 25) = 9R^2\)

\(4R^2 + 40R + 100 = 9R^2\)

\(5R^2 - 40R - 100 = 0\)

Resolvendo esta equação quadrática, encontramos R = 10 (a outra raiz será negativa e não faz sentido no contexto de idade).

Portanto, a idade de Lucas será \(R + 5 = 15\).

Análise das Alternativas Incorretas:

A - 12: Esta idade não satisfaz a proporção dada quando substituímos nas equações.

B - 10: Esta é a idade de Rafael, não de Lucas.

D - 20: A idade resultante de um erro comum ao não seguir corretamente a proporção dada.

E - 32: Esta idade está muito além do intervalo lógico para Lucas, dada a relação com Rafael.

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