Uma variável aleatória possui a seguinte função de densidad...

A PDF dada é:

f(x) = { 2e^(-2x), x ≥ 0 { 0, x < 0

Esta é a função de densidade de probabilidade de uma distribuição exponencial com λ = 2.

2. Fórmula da Função Geradora de Momentos (MGF):

A MGF é definida como:

M(t) = E[e^(tx)] = ∫[e^(tx) * f(x) dx]

3. Calculando a MGF:

Para a nossa PDF, a integral é:

M(t) = ∫[e^(tx) * 2e^(-2x) dx] (de 0 a ∞)

M(t) = 2 ∫[e^(tx - 2x) dx] (de 0 a ∞)

M(t) = 2 ∫[e^((t-2)x) dx] (de 0 a ∞)

Agora, integramos:

M(t) = 2 [e^((t-2)x) / (t-2)] (de 0 a ∞)

M(t) = 2 [lim (x→∞) e^((t-2)x) / (t-2) - e^((t-2)*0) / (t-2)]

Para que a integral convirja, precisamos que t - 2 < 0, ou seja, t < 2.

M(t) = 2 [0 - 1 / (t-2)]

M(t) = -2 / (t-2)

M(t) = 2 / (2-t)

4. Comparando com as Opções:

A MGF que calculamos é:

M(t) = 2 / (2-t)

Esta corresponde à opção B.

Conclusão:

A função geradora de momentos para a função de densidade de probabilidade dada é:

M(t) = 2 / (2-t)

Portanto, a resposta correta é a opção B.

https://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function