Carlos escreveu os 100 primeiros termos da sequência (5, 8, ...

Carlos e André têm sequências aritméticas, e precisamos encontrar os números que aparecem em ambas as sequências.

A sequência de Carlos é (5, 8, 11, ...), onde cada termo aumenta em 3. A fórmula para o n-ésimo termo (a_n) é:

an=5+(n−1)×3a_n = 5 + (n-1) \times 3

A sequência de André é (3, 7, 11, ...), onde cada termo aumenta em 4. A fórmula para o n-ésimo termo (b_n) é:

bn=3+(n−1)×4b_n = 3 + (n-1) \times 4

Vamos encontrar os números comuns a ambas as sequências. Esses números são da forma:

5+3k=3+4m5 + 3k = 3 + 4m

Para alguns inteiros k e m. Simplificando, temos:

5+3k=3+4m⇒3k−4m=−25 + 3k = 3 + 4m \Rightarrow 3k - 4m = -2

Queremos encontrar valores inteiros de k e m que satisfaçam essa equação dentro dos primeiros 100 termos de cada sequência.

Vamos resolver a equação diofantina linear 3k−4m=−23k - 4m = -2:

k=4m−23k = \frac{4m - 2}{3}

Para k ser inteiro, 4m−24m - 2 deve ser múltiplo de 3, ou seja:

4m−2≡0(mod3)4m - 2 \equiv 0 \pmod{3}

4m≡2(mod3)4m \equiv 2 \pmod{3}

O número que torna essa congruência verdadeira é m=2m = 2, já que 4⋅2=8≡2(mod3)4 \cdot 2 = 8 \equiv 2 \pmod{3}.

Usando a fórmula geral, m=2+3nm = 2 + 3n para algum inteiro n, substituindo de volta:

k=4(2+3n)−23=8+12n−23=6+12n3=2+4nk = \frac{4(2 + 3n) - 2}{3} = \frac{8 + 12n - 2}{3} = \frac{6 + 12n}{3} = 2 + 4n

Para que ambos k e m estejam dentro dos primeiros 100 termos, eles precisam estar no intervalo de 1 a 100:

1≤2+4n≤100⇒−1≤4n≤98⇒0≤n≤24.51 \leq 2 + 4n \leq 100 \Rightarrow -1 \leq 4n \leq 98 \Rightarrow 0 \leq n \leq 24.5

1≤2+3n≤100⇒−1≤3n≤98⇒0≤n≤32.671 \leq 2 + 3n \leq 100 \Rightarrow -1 \leq 3n \leq 98 \Rightarrow 0 \leq n \leq 32.67

Portanto, o valor máximo de n que satisfaz ambos é 24, então os valores de n são de 0 a 24, totalizando 25 termos.

Assim, Carlos e André escreveram 25 números iguais