O conjunto solução da equação tg2x + tgx = 0, para x ∈ (0,2 ...

Questão muito legal. Se tomarmos tgx = k temos a equação k²+k = 0, que tem como raízes 0 e 1. Ora, se tgx vale 0 ou 1 ou senx é 0 ou senx=cosx, dessa forma os valores possíveis são π ou 2π (para senx=0) ou 3/4π ou 7/4π (Para senx=cosx)

Leonardo, na verdade as raízes são 0 e -1. Como tgx= senx/cosx, teremos tgx=-1 nos quadrantes onde senx e cosx tenham valores iguais e com sinais opostos (+/- ou -/+). Teremos tgx= -1 nos 2º e 4º quadrantes, para os valores de x= 3π/4 e x=7π/4.
 

Teremos tg=0 para x=0, x=π e x=2π. Contudo, 0 não está contido no intervalo de x definido no enunciado.
Então temos que o conjunto solução da equação é S={π, 2π, 3π/4 e x=7π/4}

k²+k = 0 => as raízes são 0 e -1

tgx= senx/cosx = 0 => Seno tem que ser 0 para o resultado ser 0, ou seja, π (180°), 2π (360°)

tgx= senx/cosx = -1 => negativo, então, 2º e 4º quadrante

Nos ângulos notáveis a tg 45° = 1, então, os ângulos irmão do 45º no 2º e 4º quadrante = 135° (3π/4) e 315° (7π/4)

obs.: π = 180°