Questões Militares de Matemática - Polígonos

A segunda fase da OBMEP em 2019 será realizada na Universidade Federal de Santa Maria no dia 28 de setembro do corrente ano. Um problema instigante e desafiador de geometria foi apresentado aos alunos do CMSM durante a preparação, segundo a figura 11 a seguir

Sabe-se que:

a. Dadas duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos são iguais, ou seja, se r // s então a = B

Dado um hexágono regular de 6 cm de lado, considere o seu apótema medindo α cm e o raio da circunferência a ele circunscrita medindo R cm.
O valor de ( R + a √3 ) é

Isabel confecciona envelopes a partir de folhas retangulares de papel A4, conhecido por ter medidas 21 cm por 29,7cm e 75 /g m²

O processo de preparação de cada envelope envolve:

• dobrar a folha ao meio tanto no sentido da maior medida quanto da menor medida;

• com a folha aberta e a determinação do seu centro, tomar, a partir deste, sobre a dobra maior, 8 cm para a esquerda e 8 cm para a direita, e, sobre a dobra menor, 3 cm para cima e 3 cm para baixo, determinando um retângulo;

• sobre as menores dimensões deste retângulo, desenhar dois triângulos equiláteros;

• sobre uma das maiores dimensões do retângulo, tomar um triângulo isósceles de altura 6 cm;

• sobre a outra das maiores dimensões do retângulo, desenhar um trapézio isósceles, cuja medida do ângulo da base maior é igual a 45º e a altura é igual a 3 cm

A figura abaixo é uma planificação total de um dos envelopes.

Considere √3 = 1,7

Se o pacote de papel A4 é vendido com 500 folhas e se for confeccionado apenas um envelope com cada uma das folhas de um pacote, então, a quantidade gasta, em gramas, de papel é maior que 

Em um jogo de videogame há uma etapa em que o personagem, para se livrar do ataque de monstros, precisa subir pelo menos 1 dos 20 andares de um prédio, utilizando, necessariamente, um elevador.

O personagem encontra-se no térreo e pode escolher e acionar um dos 3 elevadores ali existentes. Todos eles estão em perfeito funcionamento e são programados de modo a parar em andares diferentes, conforme esquema a seguir:

Elevador     Programa para parar apenas

                      nos andares de números

       P                            pares                         

           T                     múltiplos de 3                 

     C                     múltiplos de 5                

Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa, apenas para os andares de 1 até 20

( ) Não há possibilidade de um mesmo andar receber os três elevadores P, T e C

( ) Em 6 andares desse prédio, chegam, exatamente, 2 elevadores.

( ) Se em x andares desse prédio chega apenas 1 elevador, então, x é menor que 7

Sobre as proposições, tem-se que

A figura representa o logotipo de uma empresa que é formado por 2 triângulos retângulos congruentes e por um losango. Considerando as medidas indicadas, a área do losango, em cm² , é