Seja O o centro da circunferência que passa por A, B, C e D....

Utilizando as ideias de ângulo dentro da circunferência, verifica-se que:

Se o ângulo CÔD = 120°, logo o ângulo AÔD = 60°.

Nota-se que o ângulo AÔD é central, portanto o ângulo ABD = 30°.

Vamos lá:

Primeiro vamos achar a relação entre o ângulo ABD - que chamaremos de alfa - com o ângulo AOD - que chamaremos de teta já que ABD é um quadrilátero côncavo:

• Teta = AB/R => AB = Teta.R
• Alfa = AB/2R => AB = Alfa.2R
• Portanto AB = AB => Teta.R = Alfa.2R
• Isolamos Alfa -> Alfa = Teta.R/2R
• Cortamos R com R -> Alfa = Teta/2

Ok, achamos que Alfa = Teta/2, agora vamos descobrir teta.

• AOD é teta
• DOC = 120
• AOC = 180
• AOC = AOD + DOC
• Portanto, 180 = AOD + 120 => AOD = 180 - 120 = 60 => Teta = 60

Já que sabemos qual é o ângulo teta, é ó jogar na fórmula de alfa:

• Alfa = Teta/2 => Alfa = 60/2 = 30

Portanto Alfa é igual a 30 graus

ângulo inscrito (xº) = ângulo central (60º) dividido por 2.

A reta AC passa pelo centro e divide a circunferência exatamente na metade

Isso nos diz que AÔC é exatamente a metade do ângulo total da circunferência

Logo, AÔC=180*

Então: CÔD+AÔD=180*

SE CÔD=120* (O ENUNCIADO NOS DIZ)

ENTÃO: AÔD= 60*

o ângulo ABD equivale a metade de AÔD (conceito de ângulo inscrito).

Por isso ABD=30*