A soma dos cubos das raízes reais da equação (x² – 2x + 1)² ...

Temos a seguinte equação:

(x²-2x+1)²=5x²-10x+1

Se colocarmos o 5 em evidência, então teremos:

(x²-2x+1)²=5.(x²-2x)+1

Se nos quisermos, podemos somar -1+1, que não altera pois equivale somar a 0, à (x²-2x):

(x²-2x+1)²=5.(x²-2x+1-1)+1

Nessa configuração, o x²-2x+1 se repete. Por isso, vamos atrelar essa expressão à uma variável auxilar y para simplificar os nossos cálculos:

y²=5.(y-1)+1 <-- resolvendo, fica:

y²=5y-5+1

y²-5y+4=0 <--- resolvendo por fatoramento

(y-4)(y-1)=0

y=4

y=1

Voltando àquela expressão que igualamos à variável y, vamos substituir esses valores:

-> Para o caso de y ser 4

x²-2x+1=4

x²-2x-3=0

Calculando delta, encontraremos que delta > 0, logo, as raízes são todas reais.

Resolvendo por fatoramento:

(x-3)(x+1)=0

x=3 e x=-1

Para o caso de y ser 1

x²-2x+1=1

x²-2x=0

x(x-2)=0

x'=0

x"=2

Logo, as raízes são {-1,0,2,3}

Elevando cada um ao cubo e somando os resultados:

(-1)³=-1

0³=0

2³=8

3³=27

27+8+0-1=27+7=34 //