Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscr...

Gente por favor me ajuda, para mim o gabarito é letra "a".

Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação x^2+9y^2-8x-54y+88=0, é correto afirmar que 

a) tem raio igual a 1. b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x – y=0.

x^2+9y^2-8x-54y+88=0 => x^2-8x+9y^2-54y=-88

x^2-8x=(x+a)^2=>x^2+2ax+a^2=>2ax=-8x=>a=-4=>(x-4)^2=>x^2-8x+16

9y^2-54y=9(y^2-6y)=>9(y+b)^2=>9(y^2+2yb+b^2)=>2yb=-6y=>y=-3=>9(y-3)^2=> 9(y^2-6y+9)=>9y^2-54y+81.

(x-4)^2+9(y-3)^2=-88+81+16=>(x-4)^2+9(y-3)^2=9 (:9)=> (x-4)^2/9+(y-3)^2=1

(x-4)^2/9+(y-3)^2=1 => (x+x0)^2/a^2+(y+y0)/b^2=1

Diâmetro a = 3, Diâmetro b=1, Centro em C=(+4,+3) 

Circunferência de menor raio possível é (x-4)^2+(y-3)^2=1^2

4x-y=0 => y=4x => (x-4)^2+(y-3)^2=1^2 => (x-4)^2+(4x-3)^2=1=> x^2-8x+16+16x^2-24x+9=1 => 17x^2-32x+24=0

Delta= b^2-4ac => 32^2-4*17*24 => 1024-1632 = Delta menor que zero, não intercepta.

a) a circunferência de menor tem raio igual a 1. Correto, pois a circunferência é dada pela equação de raio 1  (x-4)^2+(y-3)^2=1^2. 

b) a circunferência de menor tangencia o eixo das abscissas (y=0), lançando na equação da circunferência (x-4)^2+(y-3)^2=1^2 => (x-4)^2+(0-3)^2=1^2 => x^2-8x+16+9=1 => x^2-8x+24=0 => Delta=b^2-4ac=> 64-4*1*24 => 64-96=-32, Delta negativo, então nenhum ponto da abscissas intercepta a circunferência.    

c) a circunferência é secante ao eixo das ordenadas (x=0)=> (x-4)^2+(y-3)^2=1^2 =>

(0-4)^2+(y-3)^2=1^2 => y^2-6y+9+16=1=> y^2-6y+24=> Delta=b^2-4ac=> 36-4*1*+24

=>36-96=-60, Delta negativo, então nenhum ponto da ordenada intercepta a circunferência.

d)a circunferência  intercepta a reta de equação 4x – y=0? Não.  (x-4)^2+(y-3)^2=1^2

4x-y=0 => y=4x => (x-4)^2+(y-3)^2=1^2 => (x-4)^2+(4x-3)^2=1=> x^2-8x+16+16x^2-24x+9=1 => 17x^2-32x+24=0

Delta= b^2-4ac => 32^2-4*17*24 => 1024-1632 = Delta menor que zero, não intercepta.

Veja o gráfico em https://geoconic.blogspot.com/p/blog-page_17.html

Raio é igual a 3.

Sendo a equação da elipse: (x-4)²/3² + (y-3)²/1² = 1

Temos que A = 3; sendo eixo maior / 2 = raio e eixo maior calculado como 2*A --> raio = 3.

Por isso não é a letra a.

Para a circunferencia ser circunscrita a uma elipse seu diametro deve ser o eixo maior da elipse, se for 1 a circunferencia vai corta a elipse