Uma pessoa P , começando na origem, move-se no sentido p...

Sugestão de solução: Encontrar equação que modela a curva dada é complicado, não é tão direta. A ideia aqui é resolver o problema por exclusão. Vamos lá!

A) Como a corda é sempre tangente a curva, a medida que o ponto P afasta-se da origem a curva tende para o eixo x mas não o cruza, sendo assim, temos uma assíntoa orizontal na reta x=o ou o eixo x, a grosso modo, olhando para o ponto (x,y) da curva, temos que o y tende para 0 e o x tende para +infinito, logo o comprimento da curva não pode ser finito.

B) O vetor tangente não é constate, basta observar que a inclinação da corda está mudando de acordo com o ponto P, logo, se a inclinação muda, consequentemente o vetor tangente muda, ou seja, o vetor tangente não pode ser constante.

D) Basta observar que a curva r(t) não passa pelo ponto (0,a), logo já pode ser descartada.

Nos resta duas alternativas, C e E, as quais são as únicas onde as curvas passam pelo ponto (0,a).

E) Olhando para a figrua acima, podemos ver que a curva é decrescente, logo a derivada da curva dy/dx < 0 (derivada menor do que zero). Note que temos (y-a)dy = -ydx ,que implica em dy/dx = -y/(y-a) (y diferente de a), como

0<y <a, então y-a <0, daí -y/(y-a)> 0 que implia que dy/dx > 0, logo podemos descartar pois a curva em questão tem derivada negativa, isto é dy/dx < 0.

Sendo assim, a alternativa correta é a C