As dimensões a, b e c de um paralelepípedo retângulo estão e...

Área total:

A = 2(ab + ac + bc)

592 = 2(ab + ac + bc)

296 = ab + ac + bc (I)

PA (a,b,c)

Soma dos termos da PA:

S = (a1 + an)n/2

30 = (a + c)3/2

a + c = 20

b é a média aritmética entre a e c:

b = (a + c)/2

b = 20/2

b = 10

Substituindo em (I):

296 = b(a + c) + ac

296 = 10.20 + ac

ac = 96

Volume:

V = abc

V = 96.10

V = 960

Fiz por teste e erro:

a + b + c = 30

8 + 10 + 12 = 30

8 x 10 x 12 = 960cm³

Mais uma questão com longa resolução que eu provavelmente deixaria por último. Vamos lá:

Sabe-se que as arestas "a", "b" e "c" do paralelepípedo formam uma progressão aritmética de razão = "r", ou seja, cada termo aumenta em "r" unidades. Assim, podemos descrevê-la da seguinte maneira:

(a; b; c) = (x - r; x; x + r)

É descrito, também, que a soma desses valores é igual a 30cm e que a área total do paralelepípedo é de 592cm². Pode-se denotar desse modo:

a + b + c = (x - r) + x + (x + r) = 30cm

Fórmula da área total do paralelepípedo: 2ab + 2ac + 2bc = 2 · (x - r) · x + 2 · (x - r) · (x + r) + 2 · (x + r) = 592cm²

Inicialmente, deve-se encontrar o valor de "x". Para isso, basta isolá-lo na equação da soma das arestas.

x - r + x + x + r = 30

3x = 30

x = 30/3 = 10

Após isso, para que se descubra o valor da razão da progressão, substitui-se o valor de "x" na equação da área total.

2 · (10 - r) · 10 + 2 · (10 - r) · (10 + r) + 2 · (10 + r) = 592

200 - 20r + 200 - 2r² + 200 + 20r = 592

(-2)r² + 600 = 592

(-2)r² + 8 = 0

Soma das raízes = -b/a = 0/(-2) = 0

Produto das raízes = c/a = 8/(-2) = (-4)

x₁ + x₂ = 0

x₁ · x₂ = (-4)

x₁ = 2; x₂ = (-2)

Como as raízes são simétricas, a razão pode assumir tanto um valor positivo, quanto um negativo.

a + b + c = (x - r) + x + (x + r)

a = (x - r) = 10 - 2 = 8

b = x = 10

c = (x + r) = 10 + 2 = 12

Volume do paralelepípedo = a · b · c

8 · 10 · 12 = 960