Com n = 17, a variância amostral segue uma distribuição sim...
Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 17 é retirada de uma distribuição normal com média u e desvio padrão igual a 2. A variância amostral é representada por S² e X denota a média amostral.
Tendo como referência as informações precedentes e considerando S = √S², julgue o seguinte item.
Comentários
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Gabarito: Errado.
Com base nas informações fornecidas, a variância amostral S² segue uma distribuição conhecida como Qui-Quadrado com n-1 graus de liberdade.
No caso em questão, a amostra tem tamanho n = 17, portanto, a variância amostral S² seguirá uma distribuição Qui-Quadrado com 17 - 1 = 16 graus de liberdade.
A distribuição Qui-Quadrado não é simétrica em torno de um valor específico. Ela é uma distribuição assimétrica positiva, onde a forma da distribuição depende do número de graus de liberdade.
Portanto, a afirmação de que a variância amostral segue uma distribuição simétrica em torno de 4, com n = 17, é incorreta. A distribuição Qui-Quadrado com 16 graus de liberdade não possui uma simetria específica em torno do valor 4.
Aqui vamos usar um resultado bastante cobrado: partindo de uma variável normal com variância σ2, a quantidade (n−1)S2/σ2 segue distribuição qui-quadrado com n−1 graus de liberdade:
(n−1)S2 /σ2∼χ2,n−1
Com n=17 e σ=2, temos que
S2∼1/4 χ2 16
Veja que essa distribuição tem média 4:
E[S2]=E[1/4χ2 16]=1/4⋅16=4
Porém, essa distribuição não é simétrica, o que torna a assertiva incorreta.
Gabarito: ERRADO.
Indícios de Qui-Quadrado: O uso da variância amostral S e a amostra de uma distribuição normal indicam que estamos lidando com uma estatística associada à distribuição Qui-Quadrado. A variância amostral S é uma estatística Qui-Quadrado escalada pela variância populacional σ
Portanto, essa questão trata-se de uma distribuição Qui-Quadrado, uma vez que o teste ou análise da variância amostral S de uma distribuição normal faz uso dessa distribuição, especialmente quando estamos interessados em propriedades da variância ou do desvio padrão.
Gabarito: Errado
Eu decorei (e talvez seja o melhor caminho) que quando a população segue uma distribuição normal, a variância amostral S² está relacionada à distribuição qui-quadrado com n−1 graus de liberdade, mas a distribuição qui-quadrado não é simétrica, portanto o item está errado.
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