Sérgio fez uma viagem para um país distante, onde se deparou...

Para desvendar o enigma do "Mistério Geométrico" e determinar o número de diagonais que compõem essa estrutura intrigante, vamos embarcar em uma jornada de raciocínio dedutivo e análise matemática.

1. Decifrando a relação entre ângulos internos e externos:

Os habitantes locais revelaram que o ângulo interno do polígono é quádruplo do ângulo externo. Essa informação preciosa nos permite estabelecer uma equação fundamental:

Ângulo interno = 4 * Ângulo externo

2. Explorando as propriedades de polígonos regulares:

Em um polígono regular, a soma dos ângulos internos é dada por:

Soma dos ângulos internos = (n - 2) * 180°

Onde "n" representa o número de lados do polígono.

3. Combinando as informações:

Substituindo a equação do ângulo interno na fórmula da soma dos ângulos internos, obtemos:

4 * Ângulo externo = (n - 2) * 180°

4. Desvendando o número de lados (n):

Com base na informação de que Sérgio identificou o polígono ao contar o número de lados, podemos concluir que "n" é um valor inteiro positivo. Substituindo as alternativas na equação acima e verificando qual delas resulta em um valor inteiro para "n", podemos desvendar o número de lados do polígono.

5. Analisando as alternativas:

A. 10: Substituindo n = 10 na equação, obtemos 40 * Ângulo externo = 720°, o que não resulta em um valor inteiro para o ângulo externo.

B. 20: Substituindo n = 20 na equação, obtemos 80 * Ângulo externo = 3240°, o que não resulta em um valor inteiro para o ângulo externo.

C. 27: Substituindo n = 27 na equação, obtemos 108 * Ângulo externo = 4860°, o que não resulta em um valor inteiro para o ângulo externo.

D. 35: Substituindo n = 35 na equação, obtemos 140 * Ângulo externo = 6300°. Dividindo ambos os lados por 140, encontramos Ângulo externo = 45°, que é um valor inteiro e positivo.

6. Calculando o número de diagonais:

Em um polígono regular de "n" lados, o número de diagonais (D) é dado por:

D = n * (n - 3) / 2

Substituindo n = 35 na fórmula, obtemos:

D = 35 * (35 - 3) / 2 = 35 * 32 / 2 = 560

7. Revelando o segredo:

Portanto, o "Mistério Geométrico" possui 560 diagonais, formando uma complexa e bela estrutura que desafia a nossa imaginação.

Conclusão:

Através de um processo dedutivo e análise matemática, desvendamos o enigma do "Mistério Geométrico", determinando que este fascinante monumento possui 560 diagonais, um número surpreendente que revela a engenhosidade e a beleza da matemática.