Considerando-se o polinômio abaixo, assinalar a alternativa...

Teorema do resto

x = -1

só substituir

-4-3+1+1+k=0

k=5

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Para que a divisão do polinômio 4x^5 - 3x^4 + x^2 - x + k por (x + 1) seja exata, é necessário que o divisor (x + 1) seja um fator do polinômio. Isso significa que o resto da divisão deve ser igual a zero.

Podemos usar o teorema do resto para encontrar essa condição. O teorema do resto afirma que se um polinômio f(x) é dividido por (x - a) e o resto é zero, então f(a) = 0.

Nesse caso, queremos que a divisão por (x + 1) seja exata, então o resto deve ser zero. Substituindo x = -1 no polinômio dado:

4(-1)^5 - 3(-1)^4 + (-1)^2 - (-1) + k = 0

4(-1) - 3(1) + 1 + 1 + k = 0

-4 - 3 + 1 + 1 + k = 0

-5 + k = 0

k = 5

Portanto, o valor de k que faz com que a divisão do polinômio por (x + 1) seja exata é k = 5.

d-

a resposta esta na aplicacao do teorema do resto

https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_remainder_theorem

usando o divisor (x+1), iguala-se a 0 e substitui o valor da var na função:

P(-1) = 4 (-1)^5 -3(-1)^4 + (-1)² -(-1) + k

4 . -1 -3 . 1 + 1 +1 +k =0

-4 -3 +1 +1 +k=0

-7 +2 +k =0

k = -5