O número b é maior que o número c.

Esse não precisa de cálculo. Como o ponto central numa PA cresce linearmente e a PG geométricamente, sendo os extremos iguais o ponto central da PA será sempre superior ao ponto central da PG.

Achando a razão da PG (a, b, d):

sabemos  que:
d = a* razão^2 
a/d = 16/25


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razão^2 = d/a  -> razão^2 = 25/16
razão = 5/4

b= 16 * 5/4 =20

Como o somatório de a, b, c e d resulta em 163, basta subtrair e achar o valor de c.
163 - 16(valor de a) - 20(valor de b) - c - 25(valor de d) = 0

resp:
c = 102 < 20(valor de b)

Temos a, b, d = pg
e           a, c, d = pa

dai podemos concluir que:

b² = a . d 
c = (a + d)/2

como o enunciado forneceu que (a/d) = 16/25 e 
a+b+c+d = 163

Temos 4 equações e 4 incognitas, so resolver o sistema que ira encontar a = 32, b = 40, c = 41 e d = 50.

PG - a, b, d

PA - a, c, d

Observe que os extremos são iguais, logo simulando uma p.a e uma p.g qualquer com dois extremos iguais ficaria:

PG - 2 4 8 (razao=2)

PA - 2 5 8 (razao=3)

Não era necessário fazer o cálculo para achar o resultado dessa questão, bastava o candidato saber que uma progressão geométrica cresce geometricamente e uma progressão aritmética cresce linearmente. Ou seja, sendo os extremos iguais, como no exercício supracitado:

PG - { a1, a2, a3 } = { a, b, d }

PA - { a1, a2, a3 } = { a, c, d }

O ponto central da PA será sempre superior ao ponto central da PG no caso dos extremos serem iguais.