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Q1963220 Estatística

A companhia Esplanada tem como atividade principal a prestação de serviços de suporte técnico em informática, inclusive com a instalação, configuração e manutenção de programas de computação e bancos de dados. A companhia afirma que tem uma receita média de R$ 500 por cada serviço prestado, com desvio-padrão desconhecido e distribuição normal. Um auditor fiscal deseja testar se o valor da receita média informada pela empresa é confiável. Para isso, questionou aleatoriamente 16 clientes da companhia, perguntando o valor que cada um desses clientes gastou ao tomar os serviços da companhia Esplanada.


Com base nas informações obtidas, o auditor fiscal calculou o valor médio gasto pelos 16 clientes, que foi de R$ 540, com desvio-padrão R$ 80, também com distribuição normal. Para testar a hipótese de que a receita média informada pela companhia é igual à obtida na amostra juntos aos 16 clientes, o auditor fiscal aplicou um teste t de Student bicaudal (bilateral), com um intervalo de confiança de 95% (nível de significância de 5%), com a formulação das seguintes hipóteses:


H0: A receita média informada pela companhia é igual à receita média obtida na amostra (hipótese nula).


H1 : A receita média informada pela companhia é diferente da receita média obtida na amostra (hipótese alternativa).


O auditor fiscal tem os seguintes dados da distribuição t de Student:


Imagem associada para resolução da questão


Com base nessas informações, é correto afirmar que o auditor fiscal concluiu que: 

Alternativas

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Testes de hipóteses clássicos guardam uma estreita relação com intervalos de confiança, o que nos permite pensar em um teste de hipótese de uma outra forma. No caso do teste t, para verificarmos que uma hipótese H0: μ = μ0 contra H1: μμ0 a um nível de significância α é válida, é suficiente verificarmos se μ0 está no intervalo de confiança bilateral para a média com nível de confiança γ = 1 - α ( IC(μ; γ)).

Para resolvermos este exercício precisaremos de ambas as interpretações. O teste t utilizando a estatística do teste (T) e o teste t realizado com o auxílio do intervalo de confiança (IC):

A estatística do teste é dada por T = (M - μ0) / (S/√n) onde M = 540 é a média amostral, μ0 = 500, S = 80 é o desvio padrão amostral e n = 16 o tamanho da amostra. Substituindo os valores obtemos T = (540 - 500) / (80/√16) = 2. Sob a hipótese nula, a estatística T tem distribuição t de Student com n - 1 = 16 - 1 = 15 graus de liberdade. Ao nível de significância α = 5% devemos comparara com o "quantil" t(0,25;15) da distribuição t com com 15 graus de liberdade. De acordo com a tabela t(0,25;15) = 2,1315. Note que T = 2 < 2,1315 = t(0,25;15) de modo que não está na região de rejeição (região crítica). Portanto não podemos rejeitar a hipótese nula H0 ao nível de significância de 5%. Infelizmente, essa resposta apenas nos permite descartar a alternativa A.

Por outro lado, o intervalo de confiança bilateral para a média μ com 1 - α de confiança é dado por

IC(μ; 1 - α) = [M - t(α/2; n-1) · S/√n, M + t(α/2; n-1) · S/√n ]

Substituindo os valores, obtemos

IC(μ, 95%) = [540 - 2,1315 · 80/√16 , 540 + 2,1315 · 80/√16] = [ 540 - 42,63, 540 + 42,63 ] = [497,37 , 582,63]

Como 500 pertence ao intervalo de confiança IC(μ, 95%), concluímos que não podemos rejeitar a hipótese H0 nula ao nível de 5% de significância.

Resposta: Deve aceitar a hipótese nula (H), já que a receita média obtida na amostra está dentro do intervalo de confiança.

Muito difícil de explicar bem sem poder desenhar a curva de distribuição normal gaussiana, mas enfim....

  • Tabela T student pressupõe o uso do grau de liberdade (GL)
  • GL= n - 1
  • GL= 16-1 = 15
  • Olhando na tabela, temos o valor de T tabelado de 2,1315. Isso significa que , na curva gaussiana, entre -2,1315 e 2,1315 estão 95% dos intervalos de confiança que contêm o valores que determinam a receita média de 500 (Ho).
  • Calculando o valor de T crítico, usa-se a fórmula: T= (média amostral - média populacional)/ desvio padrão amostral/√n
  • T crítico = (540-40)/ 80/4 = 2

2 está dentro do intervalo da Ho (hipótese inicial) que abrange -2,1315 a 2,1315. Logo , deve-se aceitar a hipótese inicial.

Letra E

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