Ajuizada ação com o objetivo de reconhecimento de paternidad...

A ação de reconhecimento de paternidade é personalíssima. Falecendo o autor da demanda, deve o Juiz extinguir o processo sem resolução do mérito, nos termos do art. 267, IX, CPC: 

Art. 267. Extingue-se o processo, sem resolução de mérito: (Redação dada pela Lei nº 11.232, de 2005)

IX - quando a ação for considerada intransmissível por disposição legal;

Art. 265, parágrafo 2, CPC - No caso de morte do procurador e qualquer das partes, ainda que iniciada a audiência de instrução e julgamento, o juiz marcará, a fim de que a parte constitua novo mandatário, o prazo de 20 dias, findo o qual extinguirá o processo SEM julgamento do mérito, se o autor não nomear novo mandatário, ou mandará prosseguir no processo, à revelia do réu, tendo falecido o advogado deste.

Em um primeiro momento me pareceu que o processo deveria ser suspenso, nos termos do art. 265 parágrafo primeiro. Já que houve a morte do autor da ação. É que embora seja a ação de investigação de paternidade direito personalíssimo, não se pode olvidar que o direito personalíssimo do neto também existe. Investigação de paternidade avoega.
No caso em tela me parece que o correto seria o Juiz suspender o processo para que suposto herdeiro(s) do autor falecido se habilitassem no processo.

Art. 1.606. A ação de prova de filiação compete ao filho, enquanto viver, passando aos herdeiros, se ele morrer menor ou incapaz.
Parágrafo único.Se iniciada a ação pelo filho, os herdeiros poderão continuá-la, salvo se julgado extinto o processo.

 Destaca-se que na questão o processo ainda não foi julgado. O que legitimaria que possíveis herdeiros se habilitassem no processo.
Contudo, a questão não afirma se o autor falecido tem ou não herdeiros. Deste modo, a resposta que me parece mais apropriada é:
O processo deverá ser extinto sem resolução do mérito, por tratar-se de Direito personalíssimo. Art. 267, IX do CPC.
Ha discussão doutrinária a cerca da legitimidade do MP para continuar a ação. Porém  não vejo interesse ao MP, caso o falecido autor não tiver herdeiros.

De acordo com o artigo 267, IX, do CPC: "Extingue-se o processo, sem resolução de mérito: IX - quando a ação for considerada intransmissível por disposição legal".

No enunciado:

Comprovado o óbito do autor, o processo não deve ser extinto sem julgamento do mérito, porque, apesar de se tratar de questão de estado, o falecimento ocorreu depois do fim da instrução. (errado).

Acredito que o erro não está na afirmação de que o processo não deve ser extinto sem julgamento de mérito, mas sim na justificativa, se de que só porque o falecimento ocorreu depois do fim da instrução é que não deve ser extinto.

Ora, a morte do autor que buscava o direito à filiação, embora personalíssimo, não extingue a possibilidade do seu reconhecimento. Isto porque, como bem colocado pela colega, esse direito traz consequências a toda a sua família, principalmente netos e cônjuge, até mesmo de cunho patrimonial.