Sobre o determinante de uma matriz pode-se dizer que: I. Se...

Analisando...

I - Sim, está correto. Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz são zero, então o determinante dessa matriz é zero. Isso ocorre porque o determinante é calculado através de uma combinação de produtos dos elementos da matriz. Se um desses elementos for zero, então o produto será zero, fazendo com que o determinante seja zero. Portanto, qualquer matriz que tenha uma linha ou coluna de zeros terá um determinante de zero.

II - Sim, está correto. Se duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada são iguais ou se existe uma dependência linear entre elas (ou seja, uma linha ou coluna pode ser expressa como uma combinação linear das outras), então o determinante dessa matriz é zero. Isso ocorre porque o determinante é uma medida do volume ou da mudança de volume produzida por uma transformação linear, e se duas linhas ou colunas são iguais ou linearmente dependentes, isso indica que o volume é zero. Portanto, o determinante da matriz será zero.

III - Sim, está correto. Trocar as linhas por colunas de uma matriz quadrada (ou seja, calcular a transposta da matriz) não altera o valor do seu determinante. Isso significa que o determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta. Portanto, o determinante permanece o mesmo quando as linhas e colunas de uma matriz quadrada são trocadas.

IV - Sim, está correto. Se você multiplicar todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada por uma constante, o determinante da matriz será multiplicado por essa mesma constante.

Isso ocorre porque o determinante é uma medida do volume ou da mudança de volume produzida por uma transformação linear, e multiplicar uma linha (ou coluna) por uma constante é o mesmo que escalar o volume por essa constante.

Portanto, o determinante da matriz se torna multiplicado por essa constante.