Considerando que o treinador de um time de vôlei disponha de...

C(10,6) = sem nenhum levantadorC(2,1)x (C10,5) =2x (C10,5) = com apenas um levantadorC(10,6) + 2x (C10,5) = 714

Questão de Combinação Simples.Sem nenhum levantadortemos que escolher apenas 10 jogadores para montar o time de 6 atletasC(10,6) = 10! / 6! . (10-6)!C(10,6) = 10! / 6! . 4!C(10,6) = 10.9.8.7.6! / 6! . 4!C(10,6) = 10.9.8.7 / 4!C(10,6) = 10.9.8.7 / 4.3.2.1C(10,6) = 5.3.2.7C(10,6) = 210Logo, 210 possibilidades sem nenhum levantadorCom apenas um levantadorPara o primeiro atleta, temos 2 jogadoresPara os 5 demais, teremos que combinar os outros 10 jogadoresE com isso completamos o time com 6 atletasLogo, no total teremosC(2,1) x (C10,5)Calculando a combinação dos dois levantadoresC(2,1) = 2! / 1! . (2-1)!C(2,1) = 2Calculando a combinação dos demais jogadores(C10,5) = 10! / 5! . (10-5)!(C10,5) = 10! / 5! . 5!(C10,5) = 10.9.8.7.6.5! / 5! . 5!(C10,5) = 10.9.8.7.6 / 5!(C10,5) = 10.9.8.7.6 / 5.4.3.2.1(C10,5) = 2.3.2.7.3(C10,5) = 252Assim, 2 x 252 = 504 possibilidades com um levantadorTotal = 210 + 504 = 714 possibilidades

Quase sempre que aparece uma expressão limitadora, Ex: "pelo menos...", "com apenas...", é mais fácil fazer o exercício por exclusão, ou seja, pegar o total possível e tirar os não possíveis. Tente observar isso em outras questões.RESOLUÇÃO:Total = C12,6O que não pode: ter 2 levantadores = C10,4 (10 e 4 porque 2 já foram escolhidos: os 2 levantadores)RESPOSTA: C12,6 - C10,4

12 Jogadores -  (02) levantadores e outros (10) bem treinados que jogam em qualquer posição, enfim, os "fod***s".

Objetivo - Deve-se formar um time de 6 pessoas com um levantador, ou (+), um time de 6 pessoas sem evantador.

 

1° Passo - Sem o levantador, ou seja, só com os 'fod***":

 - Temos que escolher  6 de 10 dos "fodõ**": C (10,6) = 210

 

2° Passo - Agora formamos um time de 6 pessoas com a inclusão de um dos (02) levantadores. Porém, como só podemos colocar 1 levantador, devemos escolher 1 dos 2 levantadores: C (2,1) = 02.

 

Agora que escolhemos 1 levantador, só restão outros 5 pra formar um time, ou seja, C (10,5) = 252.

 

3 - Passo - Agora pegamos o resultado da escolha de 1 dos levantadores e multiplicamos pelo resultado dos outros  5 jogadores escolhidos: 2 X 252 = 504.

 

Por Fim, lembre-se que o enunciado pede (um time de  6 pessoas com um levantador, ou (+), um time de 6 pessoas sem um levantador).

 

Portanto, 504 + 210 = 714

 

Confesso que errei, mas como não entendi p**a nenhuma das outras explicações,  resolvi fazer uma mais didática.
 

Temos 12 jogadores, dentre eles 2 (dois) levantadores e 10 (dez) bem treinados para jogar em qualquer outra posição.

Para escolhermos uma equipe de 6 (seis) jogadores com 1 (um) levantador (1ª opção), devemos:

1º Escolher 1 (um) um levantador, entre os 2 (dois) disponíveis, ou seja, faremos C(2,1) = 2;

2º Escolher 5 (cinco) jogadores entre os 10 (dez) que jogam em qualquer posição (não podemos escolher o outro levantador restante porque ele não sabe jogar nas outras posições), ou seja, faremos C(10,5), já que todos esses 10 jogadores jogam em qualquer posição e a ordem da escolha aqui não importa. Neste caso, temos C(10,5) = 10*9*8*7*6/5*4*3*2*1 = 252.

Logo, 2 * 252 (escolher um levantador e 5 jogadores que jogam em qualquer posição) = 504 possibilidades.

Agora, para escolhermos uma equipe de 6 (seis) jogadores e sem nenhum levantador, devemos considerar apenas aqueles que são bem treinados para jogar em qualquer posição, no caso 10 (dez) jogadores. Como a ordem também não importa, faremos uma combinação também, neste caso C(10,6) = 10*9*8*7*6*5/6*5*4*3*2*1 = 210 possibilidades.

Como o enunciado pediu a quantidade de maneiras diferentes para formar um time de 6 atletas com apenas um ou sem nenhum levantador, devemos somar essas duas possibilidades. Portanto, teremos: 502 (possibilidade com um levantador) + 210 (possibilidade sem nenhum levantador) = 714 possibilidades.

Portanto,

Gabarito: Correta!