Os 10 elementos de uma amostra aleatória correspondentes a u...

No caso do intervalo de confiança para a mediana, a dica é trabalhar com o correspondente teste de hipóteses bilateral.

Suponha que os valores observados tenham sido: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Queremos testar a hipótese de mediana valendo "D".

Para tanto, subtraímos D de cada valor da amostra e contamos o número de sinais positivos. Sob a hipótese nula, a chance de sinal positivo é de 50%, pois 50% das observações são maiores que a mediana.

A região de aceitação corresponderá ao intervalo [2, 9], coincidindo com o intervalo de confiança. Já a região crítica corresponderá a valores menores que 2 ou maiores que 9.

O próximo passo é calcular o nível de significância para o teste de hipóteses.

Para tanto, vamos percorrer toda a região crítica.

Se D for algum valor entre 1 e 2, como, por exemplo, 1,99, então teremos o seguinte. Ao subtrairmos 1,99 de cada valor da amostra, teremos 9 sinais positivos (2 - 1,99 é positivo; idem para 3 - 1,99, 4 - 1,99 e assim por diante) e 1 sinal negativo (1 - 1,99 = -0,99).

Se D for algum valor inferior a 1, teremos então dez sinais positivos.

Se D for algum valor entre 9 e 10, teremos um sinal positivo. Se D for algum valor maior que 10, teremos 0 sinais positivos.

O número de sinais positivos, X, segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 10 (pois há dez elementos na amostra) e p = 0,5 (pois a chance de valores maiores que a mediana é 50%).

Portanto:

P(X=0) = 0,5^10

P(X=9) = P(X=1) = 10×0,5^10

A região crítica tem área igual a soma dessas probabilidades = 11/512

Logo, o intervalo correspondente tem confiança de:

1−11/512

=501/512

Gabarito: A