Da rejeição do pedido de gratuidade da justiça cabe:

Art. 1.015. Cabe agravo de instrumento contra as decisões interlocutórias que versarem sobre:

I - tutelas provisórias;

II - mérito do processo;

III - rejeição da alegação de convenção de arbitragem;

IV - incidente de desconsideração da personalidade jurídica;

V - rejeição do pedido de gratuidade da justiça ou acolhimento do pedido de sua revogação;

VI - exibição ou posse de documento ou coisa;

VII - exclusão de litisconsorte;

VIII - rejeição do pedido de limitação do litisconsórcio;

IX - admissão ou inadmissão de intervenção de terceiros;

X - concessão, modificação ou revogação do efeito suspensivo aos embargos à execução;

XI - redistribuição do ônus da prova nos termos do ;

XII - (VETADO);

XIII - outros casos expressamente referidos em lei.

Parágrafo único. Também caberá agravo de instrumento contra decisões interlocutórias proferidas na fase de liquidação de sentença ou de cumprimento de sentença, no processo de execução e no processo de inventário.

Fonte: Código de Processo Civil.

MAS se a rejeição for na sentença, é apelação né

A Paloma está certa, a questão não deixou explicito se o juiz rejeitou em despacho interlocutório ou em sentença de mérito, pressupondo o examinador que o candidato tenha que deduzir do enunciado, pode?!!!!

Além disso, se a gratuidade for indeferida pelo relator do recurso no tribunal, cabe agravo interno.

E se a decisão de indeferimento do embargos de declaração foi omissa, caberia também embargos de declaração.

Lembrando que se considera omissa a decisão que, dentre outros incisos do §1º do art. 489 do CPC:

I - se limitar à indicação, à reprodução ou à paráfrase de ato normativo, sem explicar sua relação com a causa ou a questão decidida;

II - empregar conceitos jurídicos indeterminados, sem explicar o motivo concreto de sua incidência no caso;

III - invocar motivos que se prestariam a justificar qualquer outra decisão;

IV - não enfrentar todos os argumentos deduzidos no processo capazes de, em tese, infirmar a conclusão adotada pelo julgador;

E é só o que acontece. O juiz indefere genericamente, numa decisão que poderia justificar qualquer coisa, utilizando conceitos jurídicos genéricos, dando apenas um CONTROL C CONTROL V. De qualquer forma, apesar da péssima formulação, não dá pra errar essa questão. Pelas opções, fica claro que o examinador quer saber o feijão com arroz.