Se ε tem distribuição normal bivariada, com vetor de médias...

O estimador de Mínimos Quadrados Generalizados (GLS) para o vetor de parâmetros β em um modelo linear com erros que seguem uma distribuição normal bivariada é obtido minimizando uma forma ponderada dos quadrados dos resíduos.

Se o vetor de erros ε segue uma distribuição normal bivariada com média zero e matriz de covariância σ2V, onde V é uma matriz positiva definida de ordem 2, o modelo linear é representado por:

Y=Xβ+ε

Onde:

• Y é o vetor de variáveis dependentes,
• X é a matriz de variáveis independentes,
• β é o vetor de parâmetros a ser estimado,
• ε é o vetor de erros com distribuição normal bivariada.

A função de verossimilhança para esse modelo é proporcional à exponencial negativa de (εTV−1ε)/2, onde V−1 é a inversa da matriz de covariância V.

O estimador de Mínimos Quadrados Generalizados de β, denotado por β^GLS​, é então obtido minimizando a seguinte expressão:

Q(β)=(Y−Xβ)TV−1(Y−Xβ))

Onde Q(β) é chamada de função de perda de quadrados generalizados. A solução para esse problema de minimização é dada por:

β^GLS=(XTV−1X)−1XTV−1Y

Este é o estimador de Mínimos Quadrados Generalizados para β no contexto de um modelo linear com erros que seguem uma distribuição normal bivariada. A inversa de (XTV−1X) é possível assumindo que X é de classificação completa (não há multicolinearidade perfeita entre as variáveis independentes).