Considere um exame para detectar o uso de uma droga. Suponh...

Para calcular a probabilidade P de que o resultado do exame seja um falso positivo, vamos usar o teorema de Bayes, que permite atualizar a probabilidade anterior de um evento com base em novas evidências.

Temos os seguintes dados:

• Probabilidade pré-exame de que o indivíduo use a droga (P(Droga)) = 0,8.

Probabilidade de um usuário da droga testar positivo (P(Positivo|Droga)) = 0,95.

Probabilidade de um não usuário testar negativo (P(Negativo|Não Droga)) = 0,9.

 Queremos encontrar a probabilidade de que o indivíduo não use a droga dado que o teste deu positivo (P(Não Droga|Positivo)), que é um falso positivo.

Primeiro, calculamos a probabilidade de não usar a droga:

P(Não Droga)=1−P(Droga)=1−0,8=0,2

Agora, calculamos a probabilidade de um não usuário testar positivo, que é o complemento de testar negativo:

P(Positivo|Não Droga)=1−P(Negativo|Não Droga)=1−0,9=0,1

A probabilidade total de testar positivo, P(Positivo), é a soma das probabilidades de um usuário testar positivo e de um não usuário testar positivo:

P(Positivo)=P(Droga)⋅P(Positivo|Droga)+P(Não Droga)⋅P(Positivo|Não Droga)

P(Positivo)=0,8⋅0,95+0,2⋅0,1=0,76+0,02=0,78

Agora aplicamos o teorema de Bayes para calcular P(Não Droga|Positivo):

P(Não Droga|Positivo)=P(Não Droga)⋅P(Positivo|Não Droga) /P(Positivo)

P(Não Droga|Positivo)=0,2⋅0,1 /0,78 ≈0,025

Portanto, a probabilidade de que o resultado do exame seja um falso positivo, ou seja, que o resultado esteja errado, é aproximadamente 0,025, o que se enquadra no intervalo de 0,02 a 0,05.

Gabarito: Letra C

A questão pede a probabilidade de um falso positivo, ou seja, que o exame dê positivo para um não usuário de drogas.

Para isso, o jeito mais prático de calcular é pelo Teorema de Bayes:

P(AlB) = (P(BlA)*P(A)) / P(B)

Substituindo A = indivíduo ser não usuário; B = exame Positivo:

P(indivíduo não usuário, dado exame positivo) = (P(exame positivo, dado indivíduo não usuário)*P(indivíduo não usuário)) / P(exame positivo) = falso positivo

• P(indivíduo não usuário) = 0,2 (dado da questão)
• P(exame positivo) = 0,95*0,8 + 0,1*0,2 = 0,78 (probabilidade de dar positivo sendo o indivíduo usuário OU não de drogas)

P(falso positivo) = 0,1*0,2/0,78 = 0,02564 (que está entre 0,02 e 0,05).

Logo, gabarito letra C.

Bons estudos!

0.8 usou -> exame 0.95 positivo | 0.05 negativo

0.2 não usou -> exame 0.9 negativo | 0.1 positivo

Precisamos dividir o que queremos sobre o universo de possibilidades. O enunciado diz que deu positivo, logo nosso universo é dos positivos. Segue o que devemos achar:

P = (probabilidade falso positivo) / (probabilidade de dar positivo)

P = (0.2*0.1) / (0.8*0.95 + 0.2*0.1) = 0.02 / 0.78 = 0.0256

Logo, 0,02 < P < 0,05