Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias de um mesmo esp...

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Q536025 Estatística
Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias de um mesmo espaço amostral e que E(X|Y = y) = Var(X|Y = y) = 4y2 em que Y segue uma distribuição normal com média zero e desvio padrão 1. Com base nessas informações, julgue o seguinte item.


O desvio padrão de X é igual a 6.


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Vou tentar ajudar, já que ninguém se dispôs a tanto:

Var(X|Y = y) = 4y^2 ---->desmembrei utilizando a fórmula da variância, pois o desvio padrão nada mais é do que a raíz quadrada da variância , então:

Var(X|Y)= Var(X)+Var(Y) + 2.cov(X|Y) .........alguns pode dizer: "não, mas o certo seria -2.cov(X|Y)", porém, vão por mim...

Var(X|Y=y =4y^2) = x + Var(4y^2) +2.cov(X|Y)

Var(X|Y=y =4y^2) = x + 16 (y^2) + cov(2y) . 2cov(2x)

Var(X|Y=y =4y^2) = x + 16(y^2) + 2(y) . cov(2x)

Var(X|Y=y =4y^2) = x + 18.2(x)

Var(X|Y=y =4y^2) = 36x^2

Como a variância no caso foi 36, logo o desvio padrão será 6!

Tentei ajudar, caso esteja errado, por favor, me corrijam!

Bons Estudos!!!

GabaritoCERTO.

Pela lei da variância total, podemos obter a variância da variável X através da expectância condicional de X

 em Y e da variância condicional de X em Y:

Var(X)=Var(E(X|Y))+E(Var(X|Y))

Da questão temos E(X|Y)=Var(X|Y)=4Y2.

Var(X)=Var(4Y2)+E(4Y2)

Na variância removemos para fora do operador a constante ao quadrado, no valor esperado apenas removemos a constante para fora:

Var(X)=16Var(Y2)+4E(Y2)

Como Y segue distribuição normal padrão, Y2 segue distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Nessa distribuição o valor esperado é igual ao número de graus de liberdade, e a variância é o dobro dos graus de liberdade. Portanto:

Var(X)=16⋅2+4⋅1

Var(X)=32+4=36

O desvio padrão de X é a raiz quadrada da sua variância:

√36=6

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