Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias de um mesmo esp...
O desvio padrão de X é igual a 6.
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Vou tentar ajudar, já que ninguém se dispôs a tanto:
Var(X|Y = y) = 4y^2 ---->desmembrei utilizando a fórmula da variância, pois o desvio padrão nada mais é do que a raíz quadrada da variância , então:
Var(X|Y)= Var(X)+Var(Y) + 2.cov(X|Y) .........alguns pode dizer: "não, mas o certo seria -2.cov(X|Y)", porém, vão por mim...
Var(X|Y=y =4y^2) = x + Var(4y^2) +2.cov(X|Y)
Var(X|Y=y =4y^2) = x + 16 (y^2) + cov(2y) . 2cov(2x)
Var(X|Y=y =4y^2) = x + 16(y^2) + 2(y) . cov(2x)
Var(X|Y=y =4y^2) = x + 18.2(x)
Var(X|Y=y =4y^2) = 36x^2
Como a variância no caso foi 36, logo o desvio padrão será 6!
Tentei ajudar, caso esteja errado, por favor, me corrijam!
Bons Estudos!!!
Gabarito: CERTO.
Pela lei da variância total, podemos obter a variância da variável X através da expectância condicional de X
em Y e da variância condicional de X em Y:
Var(X)=Var(E(X|Y))+E(Var(X|Y))
Da questão temos E(X|Y)=Var(X|Y)=4Y2.
Var(X)=Var(4Y2)+E(4Y2)
Na variância removemos para fora do operador a constante ao quadrado, no valor esperado apenas removemos a constante para fora:
Var(X)=16Var(Y2)+4E(Y2)
Como Y segue distribuição normal padrão, Y2 segue distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade. Nessa distribuição o valor esperado é igual ao número de graus de liberdade, e a variância é o dobro dos graus de liberdade. Portanto:
Var(X)=16⋅2+4⋅1
Var(X)=32+4=36
O desvio padrão de X é a raiz quadrada da sua variância:
√36=6
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