Questões de Concurso Comentadas por alunos sobre análise combinatória em matemática em matemática

Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e sete vagões distintos, sendo um deles o vagão do silêncio (onde não é permitido conversar) e outro o vagão restaurante. O trem deve ser formado com a locomotiva à frente e o vagão do silêncio não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva e nem imediatamente após ou antes do vagão restaurante.
Portanto, o número de modos diferentes de montar a composição que forma o trem é: 

Em um encontro dos formandos em engenharia do ano 1999, cada pessoa apertou a mão de todas as outras, com exceção do casal João e Maria, que não apertou a mão de ninguém. Ao total, foram trocados 406 apertos de mão (e ninguém apertou a sua própria mão ou apertou a mão de outra pessoa, mais de uma vez).
Portanto, o número de pessoas presentes no referido encontro foi: 

Quantos números diferentes podem ser formados permutando os algarismos do número 3.444.551? 

O conselho da escola é formado por 5 professores e 2 estudantes. Candidataram-se 8 professores e 10 estudantes. De quantas maneiras diferentes, esse conselho pode ser eleito?

Num grupo de 8 professores, 3 serão escolhidos para participar de um treinamento. De quantas maneiras diferentes esses 3 professores poderão ser escolhidos?