As raízes da equação algébrica 2x3 - ax2 + bx + 54 = 0 form...

Primeiramente vamos dividir a equação por 2 para reescrevê-la da seguinte forma:

x³ - Ax² + Bx + 27 = 0       (*equação 1),

onde A = a/2 e B = b/2   (reparem que A/B = (a/2)/(b/2) = a/b)

Assim, temos um polinômio de grau três com o coeficiente de maior grau igual a 1.

Segue portanto que podemos reescrevê-lo da seguinte forma:

(x - r1) + (x - r2) + (x - r3) = 0

Fazendo a distributiva dos parenteses, chegamos na formulação geral do polinômio, escrito em termos das raízes:

x³ - (r1 + r2 + r3) x² + (r1 r2 + r1 r3 + r2 r3) x - r1 r2 r3 = 0

Agora vamos considerar a informação de que as raízes formam uma PG.

Quaisquer três termos sequenciais de uma PG de razão q podem ser escritos da seguinte forma: 

(..., y/q, y, qy, ...).

Sendo assim, r1, r2 e r3 são, respectivamente, y/q, y e qy.

Portanto, o polinômio pode ser escrito como segue:

x³ - (y/q + y + qy) x² + (y/q y + y² + y qy) x - y³ = 0

Como a equação logo acima é exatamente o desenvolvimento da *equação 1, temos que -y³ = 27

Portanto, y = -3. Segue que o polinômio pode ser reescrito assim:

x³ - (-3/q - 3 - 3q) x² + (9/q + 9 + 9q) x + 27 = 0

Assim, comparando com a *equação 1, temos

A = -3/q - 3 - 3q = - (3/q + 3 + 3q)

B = 9/q + 9 + 9q = 3 (3/q + 3 + 3q)

Segue que:  a/b = A/B = [- (3/q + 3 + 3q)] / [3 (3/q + 3 + 3q)] = -1/3

Resposta: Letra D

Gab D

produto das raízes = -d/a

"a questão fala q as raízes formam uma PG", então

(x/q) * x * (x*q) = -d/a

x³ = -54/2

x = -3

substitui o x la na equação e ficará

3a + b = 0

a = -b/3

a/b = -b/3b = -1/3