Questões de Concurso Sobre derivada em matemática

Uma das etapas de um projeto de engenharia é a fixação de um sensor em uma represa. Para tanto, foi realizada a modelagem da represa, sendo necessário, como parte do projeto, determinar a inclinação da reta tangente à curva de intersecção da superfície com o plano y = 2, no ponto (2,2,√3). Levando em consideração os dados apresentados, assinale a alternativa que apresenta corretamente a inclinação da reta tangente.

Um dos modelos de dinâmica populacional é devido ao matemático Pierre-François Verhulst na década de 1840. Verhulst propõe que a população de uma certa espécie se estabiliza para um valor de limite máximo sustentável devido a limitação de recursos do meio no qual a população está inserida. A equação de Verhulst é dada por:

Considere para o tempo t=0 a população inicial P₀ =P(0)=10. Além disso, considere λ=0,05 e k=1000.

Nas condições do texto acima, o tempo em que a população se estabiliza em 800 é de aproximadamente:

Do Cálculo, a derivada em um ponto de uma função y = f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x nesse ponto. A utilização de derivadas é amplamente significativa dentro da Matemática e em outras ciências e suas propriedades são inúmeras. Com relação a elas, todas as afirmativas a seguir são verdadeiras, com EXCEÇÃO de que:

Considere uma função polinomial com coeficientes reais F(x) tal que sua derivada é F ′(x) = 5x ⁴ − 3x + 2.

Supondo F(0) = 3, marque a alternativa que contém o valor de F(2). 

Dada a Função f, definida em R e expressa por F(x) = 2x⁴ - 5x ³+ x² – 4x + 1, sua função derivada F´(x) é:

O método de Euler permite determinar soluções aproximadas para problemas de valor inicial do tipo dy/dx = ƒ(x, y), com y(x₀) = y₀, a partir do uso recursivo das equações x_n+1 = x_n + h e y_n+1 = y_n + h × ƒ(x_n, y_n), em que h é o valor do erro desejado. Na aplicação do método de Euler para o problema de valor inicial dy/dx = 1 – x + y, com y(0) = 1 e h = 1, assinale a opção correta.

Dada a função ƒ(x,y) = 3x² + 4y³ + 5x³y² , determine suas derivadas parciais de segunda ordem. 

Sendo f uma função contínua, tal que f(– 2) = 4 e f(3) = – 1, o teorema do valor intermediário garante que

Seja f uma função real que admite inversa. Se f(1) = 1, f '(1) = 2, f "(1) = -16 e g é a inversa de f, então g"(1) é

Uma caixa d’água de 1000 litros está inicialmente cheia e poluída com uma quantidade de 1mg de alumínio por litro de água. Suponha que entra na caixa, a uma vazão de 1 litro por minuto, uma água com concentração de 0,1mg de alumínio por litro e sai, na mesma vazão, a água da caixa. Por simplicidade, consideramos que o alumínio está uniformemente distribuído também na água que sai. Denotando por Q(t) a quantidade em mg de alumínio na caixa no instante t , em minutos, a equação diferencial que descreve o processo é cuja solução para as condições iniciais dadas é O valor de 100a + b + c/2 é:

Sabendo que a equação do plano em ℝ² :

2xy + x² sen y = π

define implicitamente uma função derivável y = ƒ(x) em torno do ponto , a equação da reta tangente ao gráfico de ƒ é:

A equação diferencial da forma y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ em y = y(x), onde P(x) e Q(x) são funções contínuas em um intervalo (a,b) e n ∈ ℤ, é conhecida como a equação de Bernoulli. Se n ≠ 0 e n ≠ 1 podemos transformar a equação de Bernoulli em uma equação diferencial linear mediante uma mudança da variável dependente z = y^1/P. Considere a seguinte equação de Bernoulli Após trocarmos a variável dependente por meio da relação z = y^1/P obtemos, para um valor de p apropriado, uma equação diferencial linear em  z que tem solução geral expressa por: 

Segundo Howard (2010, p.101), “O desenvolvimento do Cálculo no século XVII por Newton e Leibniz forneceu o entendimento do que significa ‘taxa de variação instantânea’, tal como a velocidade ou aceleração. A pedra fundamental sobre a qual se apoia a ideia de taxa de variação é o conceito de ‘limite’”. Com base nos conceitos de cálculo sobre limites e derivadas, analise as afirmativas abaixo:

I. O limite da função quando x tende ao infinito é zero.

II. A derivada da função é dada por

III. A derivada da função é dada por

Assinale a alternativa em que toda(s) a(s) afirmativa(s) está(ão) CORRETA(S):

Observe que a equação y - y² + xy' = 0 não é exata. Assinale a alternativa que corresponde a um fator integrante dessa equação:

Nem sempre é possível encontrar as raízes de uma equação algebricamente, necessitando - se, assim, de métodos numéricos. A alternativa que descreve, respectivamente, características dos métodos da bisseção, de Newton-Raphson e da secante para encontrar raízes de funções não algébricas é:

Se a derivada , então x = –1 e x = 1 são, respectivamente, pontos