Considere a variável aleatória discreta e bidimensional (X,Y...

Para que as variáveis sejam independentes todo o valor de P( x*y)= P(x) * P(y)

Tem- se que:

P(x=0) = 0,18+0,42 = 0,60

P(x=1) = 0,12+0,28 = 0,40

P(y=2) = 0,18+0,12 = 0,30

P(y=4) = 0,42+0,28 = 0,70

______________________________________________________________________

P(x=0 * y=2) = 0,18  ( valor no gráfico)

P( x=0) * P(y=2) = 0,60 * 0,30 =0,18

______________________________________________________________________

P(x=0 * y=4) = 0,42  ( valor no gráfico)

P( x=0) * P(y=4) = 0,60 * 0,70 =0,42

______________________________________________________________________

P(x=1 * y=2) = 0,12  ( valor no gráfico)

P( x=1) * P(y=2) = 0,40 * 0,30 =0,12

______________________________________________________________________

P(x=1 * y=4) = 0,28  ( valor no gráfico)

P( x=1) * P(y=4) = 0,40 * 0,70 =0,28

Logo, todos as probabilidades satisfazem a equação :  P( x*y)= P(x) * P(y) e por isso as variáveis são independentes.

Letra C: E(X|Y=2)=?

A probabilidade de Y=2 é de 0,18+0,12=0,30. Basta somar as probabilidades da primeira linha da tabela.

A esperança condicional fica:

E(X|Y=2)=0×P(X=0|Y=2)+1×P(X=1|Y=2)

=0,40

A esperança condicional vale 0,40, e não 0,3 como foi dito. Letra C incorreta.

Letra E.

A chance de X=1 vale 0,12+0,28=0,4

Agora calculamos a probabilidade condicional, do mesmo modo como fizemos na letra C.

E(Y|X=1)=2×P(Y=2|X=1)+4×P(Y=4|X=1)

=3,15

A esperança vale 3,15, e não 3,5. Letra E incorreta.

As letras A, B e D podem ser resolvidas numa tacada só, calculando a covariância.

Média de X:

E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=0+1×(0,12+0,28)=0,4

Média de Y:

E(Y)=2×P(Y=2)+4×P(Y=4)

=2×(0,18+0,12)+4×(0,42+0,28)

=0,6+2,8=3,

Covariância:

cov(X,Y)=E(XY)−E(X)×E(Y)

cov(X,Y)=1,36−0,4×3,4

cov(X,Y)=1,36−1,36

cov(X,Y)=0

Covariância nula implica em correlação nula. Logo, incorretas as letras B e D.

Por fim, covariância nula é condição necessária (mas não suficiente) para variáveis independentes. Como só sobrou a letra A, já podemos concluir que as variáveis são mesmo independentes.

Resposta: A