Seja X uma variável aleatória que representa a distância ent...

não sei se o raciocínio está correto ou foi coincidência, mas fiz as áreas dos círculos com possíveis tamanhos de raio:

r = 0, área = 0

r = 1, área = π

r = 2, área = 4π

r = 3, área = 9π

r = 4, área = 16π

como as probabilidades são iguais, a área de R = 1 < r < 3 = 8π, sendo a metade da área total do círculo.

resposta letra E

Entendo que essa variável segue uma distribuição Uniforme (0, 4).

Portanto, as alternativas D e E estão corretas.

Letra A. Testando para x=3, temos:

F(3)=0,25×3^2=0,25×9=2,25

Obtivemos um valor de F maior que 1, o que é absurdo. Uma probabilidade acumulada pode valer, no máximo, 100%. Portanto, a função dada não pode representar uma distribuição acumulada. Letra A incorreta.

Letra B: Como todos os pontos têm a mesma chance de serem acertados, concluímos que áreas iguais terão chances iguais. Deste modo, o valor de X que separar o alvo em duas partes de mesma área será a mediana.

Suponhamos dois círculos, concêntricos (com o mesmo centro), um dentro do outro.

Queremos determinar um valor de raio - r - para o círculo menor, de forma que sua área seja metade da área total. Ou ainda, de modo que a área do círculo menor seja igual à área de seu complementar. Aí teremos metade da área para cada lado, e, portanto, estaremos diante da mediana.

A área total (círculo menor + seu complementar) é a área de um círculo com raio 4.

A=πR^2=16π

Queremos que a área do círculo menor corresponda a metade deste valor:

πr^2=8π

r≈2,82

Logo, a mediana vale aproximadamente 2,82. Letra B errada.

Letra C

area círculo menor / area total = F(r)

π×r2 /π×4^2=F(r)

Trocando o argumento de "r" para "x":

F(x)=x2/16, para 0<x<4

Derivando a função distribuição, temos a função densidade:

f(x)=2x/16=0,125x

Ou seja, não corresponde à função dada na alternativa. Letra C incorreta.

Letra D.

E(X)=∫x×f(x)dx com x variando de 0 a 4

E(X)=8/3≈2,6667

Alternativa D incorreta.

Letra E.

P(1<X<3)=P(X<3)−P(X<1)

=F(3)−F(1)

=9/16−1/16

=0,5

Alternativa E - correta.