Para estimar um determinado parâmetro populacional, estão d...

Consegui fazer as contas. Mas nao identifiquei nas alternativas o que era theta chapeu e o que era theta barra.

Letra A - INCORRETA. O segundo estimador de fato é não-tendencioso, pois a soma dos coeficientes é igual a 1. Vejam:

1/7+2/7+4/7=1

Já para o primeiro estimador isso não ocorre:

1/3+2/3−2/3=1/3

Portanto, o primeiro estimador é sim tendencioso.

Letras B e C - INCORRETAS. Para compararmos a eficiência de dois estimadores, ambos precisam ser não viciados. Mas já vimos que o estimador θ^ não se enquadra nesta condição.

Letra D - CORRETA.

Variância de θ^

V(θ^)=V(1/3X1+2/3X2−2/3X3)

Supondo que a amostragem seja com reposição, ou então que a população seja infinita, temos que a variância da soma/diferença pode ser quebrada em soma de variâncias.

Além disso, pela propriedade da variância, podemos retirar as constantes multiplicativas da variância, elevando-as ao quadrado.

=1/9×V(X1)+4/9V(X2)+4/9V(X3)=1/9×σ2+4/9σ2+4/9σ2=1×σ2

Ou seja, temos a variância populacional multiplicada pela soma dos quadrados das constantes multiplicativas.

Para a variância de θ~ o cálculo é similar. O resultado será novamente dado pelo produto entre a variância populacional e a soma dos quadrados das constantes multiplicativas:

V(θ~)=21/49×σ^2

De fato a variância de θ~ é menor que a variância de θ^.

Letra E - INCORRETA. Para um experimento em particular, não temos como saber se o estimador irá subestimar, superestimar, ou acertar exatamente o valor do parâmetro. Quando um estimador é dito "viciado" ou "não viciado" isto sempre se refere à média que seria obtida numa série infinita de amostragens, nunca ao resultado de um experimento em particular.

Se um estimador é não-viesado eu não posso dizer que ele mais eficiente que outro viesado?