A Lei dos Grandes Números se apresenta em duas versões, uma ...

LGN - Lei dos Grandes Números

Quanto mais tentativas são realizadas, mais a probabilidade da média aritmética dos resultados observados irá se aproximar da probabilidade real.

Lei Fraca

Também chamada de Lei de Khinchin, a versão fraca da LGN determina que a média da amostra converge em probabilidade para o valor esperado. A lei fraca determina essencialmente que qualquer margem diferente de 0 especificada (não importa o quão pequena ela seja), com uma amostra suficientemente grande haverá uma probabilidade muito alta que a média das observações se aproximará do valor esperado. Isto é, dentro da margem.

Lei Forte

A versão forte da LGN afirma que a aproximação pela frequência relativa tende a melhorar quando o número de observações aumenta. Especificamente, a lei forte determina que a média de uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. com probabilidade "1" converge para a média da distribuição. Isto é, quanto maior o conjunto das observações dos dados mais próximo ele estará da sua própria média. Portanto, nenhuma informação é desconsiderada implicando na probabilidade 1

A principal diferença entre a lei fraca e a lei forte dos grandes números é que a primeira converge em probabilidade e a segunda converge quase certamente. A convergência em probabilidade é uma convergência mais fraca que a convergência quase certa, pois se houver convergência quase certa há convergência em probabilidade.

Vamos ao enunciado de cada uma delas:

Lei fraca dos grandes números:

Sejam Xi uma sequência enumerável de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e integráveis com média μ. Então,

Sn=∑Xi / n → μ em probabilidade.

Lei forte dos grandes números:

Seja Xi uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e com E(Xi)=μ. Então

∑Xi / n →μ,quase certamente.

Com base nessas informações, vamos aos itens:

a)  a lei forte expressa é condição necessária para que se tenha uma ;

b)  a lei fraca é equivalente;

c)  a lei fraca pode ser empregada para verificar a propriedade de consistência de estimadores pontuais;

d)  a lei fraca expressa é condição necessária para que se tenha uma;

e)  a lei forte é usada para mostrar que o conceito frequencial de probabilidade .

Por eliminação, segue que o gabarito é a letra C

Por completude, lembremos que uma sequência (Tn) de estimadores de um parâmetro de interesse θ é dita consistente se, dado ϵ arbitrário 

P(|Tn−θ|>ϵ)→0,n→∞.

isto é, converge em probabilidade.

Gabarito: Letra C

A lei dos grandes números (LGN) é um  fundamental da , que descreve o resultado da realização da mesma experiência repetidas vezes. De acordo com a LGN, a  aritmética dos resultados da realização da mesma experiência repetidas vezes tende a se aproximar do  à medida que mais tentativas se sucederem. Em outras palavras, quanto mais tentativas são realizadas, mais a probabilidade da média aritmética dos resultados observados irá se aproximar da probabilidade real.

A LGN tem aplicações práticas na ciência de modo geral, tal como na e na , dentre outras áreas importantes. É possível descobrir por meio de numerosas observações e de experiências suficientes a probabilidade de um evento natural acontecer (por exemplo, a probabilidade de chover) ou de uma fração de uma população satisfazer a uma condição (por exemplo, a probabilidade de ser produzida uma determinada quantidade de peças defeituosas em uma linha de montagem).

A LGN é importante ainda porque garante resultados estáveis a longo prazo para médias de eventos aleatórios. Considere um caso particular de um jogo de roleta em um cassino. Embora o cassino possa perder dinheiro em uma única rodada de uma roleta, os seus ganhos tenderão a se aproximar de uma probabilidade da média aritmética dos resultados observados depois de um grande número de rodadas. De outra forma, qualquer série de vitórias de um apostador será superada pelos parâmetros do jogo depois de algumas rodadas.

Entretanto, a LGN se aplica apenas para um grande número de observações. Não há princípio para que um pequeno número de observações coincida com o valor esperado ou para que a sequência de um valor seja superada por outro valor imediatamente

Ilustração da LGN, usando sorteio de bolas de uma urna. Seja um sorteio de bolas de uma urna contendo bolas azuis e bolas vermelhas na mesma proporção. Como quantidade de bolas azuis e bolas vermelhas dentro da urna são iguais, a porcentagem de vezes que as bolas azuis ou as bolas vermelhas serão sorteadas irá convergir para 0,5. Esse número é exatamente a proporção de bolas azuis e bolas vermelhas dentro da urna.

A LGN trata de um resultado matemático. Imagine uma experiência com uma urna contendo bolas brancas e pretas em uma certa proporção. Imagine um sorteio de bolas da urna, em que uma pessoa retira uma bola de olhos fechados e outra pessoa anota a cor da bola e devolve a bola para a urna. Várias bolas são retiradas sucessivamente. Se a experiência for realizada repetidas vezes, a frequência relativa de bolas pretas sempre irá convergir para um determinado número. Esse número é a proporção de bolas pretas contidas na urna.

Se a urna tiver a mesma quantidade de bolas brancas e pretas, a porcentagem de vezes que as bolas pretas serão sorteadas irá convergir para o 50%. Do mesmo modo, se a urna tiver três bolas brancas e sete bolas pretas, a porcentagem de vezes que as bolas pretas serão sorteadas irá convergir para é 70%.

É possível verificar experimentalmente que a porcentagem de vezes em que uma bola preta é sorteada se aproxima de um determinado número entre 0 e 100%. Esse número é exatamente a proporção de bolas na urna, o que corresponde precisamente ao resultado matemático mencionado acima. Esse resultado é um teorema da teoria da probabilidade, que afirma que quanto mais sorteios são realizados mais a proporção de bolas pretas se aproxima de um número entre 0 e 1.

Ilustração da LGN, usando lançamentos de um único dado não viciado. A medida que aumenta o número de lançamentos, a média dos valores de todos os resultados se aproxima de 3,5.

Chamada de "Primeiro Teorema Fundamental de Probabilidade", a LGN é derivada da análise de jogos de azar como sorteio de bilhetes de loteria ou arremesso de dados. Um dado não viciado de seis lados pode cair 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 em uma única jogada, todos com igual probabilidade. É possível calcular o valor médio de um lance de um dado não viciado de seis lados. Depois de várias jogadas, um a cada seis lances cairá 1, um a cada seis lances cairá 2 e assim por diante com todos os seis resultados possíveis.