A respeito da composição e do funcionamento da justiça eleit...

****Item A, está errado, nos termos do art. 19, parágrafo único do CE

Art. 19.(...)    Parágrafo único. As decisões do Tribunal Superior, assim na interpretação do Código Eleitoral em face da Constituição e cassação de registro de partidos políticos, como sobre quaisquer recursos que importem anulação geral de eleições ou perda de diplomas, só poderão ser tomadas com a presença de todos os seus membros. Se ocorrer impedimento de algum Juiz, será convocado o substituto ou o respectivo suplente.

****Item B, está CORRETO, conforme o art. 20 da lei 4737 

Art. 20. "Perante o Tribunal Superior, QUALQUER INTERESSADO poderá argüir a suspeição ou impedimento dos seus membros, do Procurador-Geral ou de funcionários de sua Secretaria, nos casos previstos na lei processual civil ou penal e por motivo de parcialidade partidária, mediante o processo previsto em regimento".

*****Item C, errado, art 17 do CE c/c art 119, parágrafo único da CF: Será Ministro do STJ (e não membro do MP)

Art. 17. O Tribunal Superior Eleitoral elegerá para seu Presidente um dos Ministros do Supremo Tribunal Federal, cabendo ao outro a Vice-Presidência, e para Corregedor-Geral da Justiça Eleitoral um dos seus membros.

CF/88, art. 119, parágrafo único: eleição do presidente e do vice-presidente; eleição do corregedor-geral dentre os ministros do Superior Tribunal de Justiça.

****Item D, errado, art 89 do CE

Art. 89. Serão registrados: (...)

III – nos Juízos Eleitorais os candidatos a Vereador, Prefeito e Vice-Prefeito e Juiz de Paz.

****Item E, errado, art 16, II do CE 

Art. 16. Compõe-se o Tribunal Superior Eleitoral: (...)

II – por nomeação do Presidente da República de dois dentre seis advogados de notável saber jurídico e idoneidade moral, indicados pelo Supremo Tribunal Federal.

E - ERRADA.

Art. 119. O Tribunal Superior Eleitoral compor-se-á, no mínimo, de sete membros,  escolhidos:

I - mediante eleição, pelo voto secreto:

a) três juízes dentre os Ministros do Supremo Tribunal Federal;

b) dois juízes dentre os Ministros do Superior Tribunal de Justiça;

II - por nomeação do Presidente da República, dois juízes dentre seis advogados de notável saber  jurídico e idoneidade moral, indicados pelo Supremo Tribunal Federal.

Duas coisas: a indicação é do STF.

Não pode ser integrante de cargo comissionado. (não sei onde vi isso)

Complementando a resposta da colega Corujinha:

LEI Nº 4.737, DE 15 DE JULHO DE 1965. - Código Eleitoral

Art. 16. Compõe-se o Tribunal Superior Eleitoral:

(...)

II - por nomeação do Presidente da República, de dois entre seis advogados de notável saber jurídico e idoneidade moral, indicados pelo Supremo Tribunal Federal. 

(...) 

§ 2º - A nomeação de que trata o inciso II deste artigo não poderá recair em cidadão que ocupe cargo público de que seja demissível ad nutum; que seja diretor, proprietário ou sócio de empresa beneficiada com subvenção, privilegio, isenção ou favor em virtude de contrato com a administração pública; ou que exerça mandato de caráter político, federal, estadual ou municipal.  

a) ERRADO. Todos os membros do TSE deverão estar presentes, quando a decisão versar sobre (em caso de impedimento de algum deles, deve haver a convocação de seu substituto ou do respectivo suplente): 1) interpretação do Código Eleitoral em face da CF/88; 2) Cassação de registro de partidos políticos; 3) Recursos que importem anulação geral de eleições ou perda de diplomas.

b) CORRETO. Perante o TSE, qualquer interessado poderá arguir a suspeição ou impedimento dos seus membros, do Procurador-Geral ou de funcionários de sua Secretaria, nos casos previstos na lei processual civil ou penal e por motivo de parcialidade partidária.

c) ERRADO. O Corregedor-Geral da Justiça Eleitoral deverá ser um dos membros advindos do STJ.

d) ERRADO. Serão registrados nos Juízos Eleitorais os candidatos aos seguintes cargos: Vereador, Prefeito e Vice-Prefeito e Juiz de Paz.

e) ERRADO. Compõe-se o Tribunal Superior Eleitoral:(...) II – por nomeação do Presidente da República de dois dentre seis advogados de notável saber jurídico e idoneidade moral,indicados pelo Supremo Tribunal Federal.

Sobre a letra B:

De acordo com o art. 20 do Código Eleitoral, lei nº 4.737, de 15.07.65:

"Perante o Tribunal Superior, qualquer interessado poderá argüir a suspeição ou impedimento dos seus membros, do Procurador-Geral ou dos funcionários de sua Secretaria, nos casos previstos na lei processual civil ou penal e por motivo de parcialidade partidária, mediante o processo previsto em regimento".