Considerando a legislação brasileira relativa à competência ...

Segundo artigo 89, II do Código de Processo Civil (CPC), somente a autoridade judiciária brasileira tem competência para proceder a inventário e partilha de bens situados no Brasil. "Compete à autoridade judiciária brasileira, com exclusão de qualquer outra: II - proceder a inventário e partilha de bens, situados no Brasil, ainda que o autor da herança seja estrangeiro e tenha residido fora do território nacional". A alternativa (A) está, portanto, errada.
A alternativa (B) está incorreta. Até 2009, não se exigia homologação de sentença estrangeira que fosse meramente declaratória do estado de pessoas. Isso foi modificado pela lei 12036/2009, que alterou a Lei de Introdução às normas do Direito Brasileiro (LINDB), artigo 15, onde se previa a inexigibilidade de homologação.
A alternativa (C) está incorreta. O trâmite das cartas rogatórias não ocorre diretamente entre os tribunais envolvidos, devendo passar por intermediários, como o Ministério da Justiça. Acordos específicos de cooperação entre o Brasil e outros países podem ser feitos para diminuir a burocracia, como é o caso da Convenção de Palermo.
A alternativa (D) está incorreta, pois o juiz pode, sim, exigir prova do texto e vigência de lei estrangeira, o que está previsto no artigo 14 da LINDB: "Não conhecendo a lei estrangeira, poderá o juiz exigir de quem a invoca prova do texto e da vigência".
A alternativa (E) está correta e seu fundamento legal encontra-se no artigo 88 do CPC.

Resposta : E

a) Tanto a autoridade judiciária brasileira quanto a autoridade do país de origem do autor da herança, se este for estrangeiro, têm competência para proceder a inventário e partilha de bens situados no Brasil. CPC, art. 89. Compete à autoridade judiciária brasileira, com exclusão de qualquer outra: II - proceder a inventário e partilha de bens, situados no Brasil, ainda que o autor da herança seja estrangeiro e tenha residido fora do território nacional.

b) A homologação de sentença estrangeira no Brasil, cuja natureza é jurisdicional, pode ser concedida a sentença de qualquer natureza, com exceção das que sejam meramente declaratórias do estado das pessoas. LIDB (antiga LICC) Art. 15, Parágrafo único. Não dependem de homologação as sentenças meramente declaratórias do estado das pessoas. (Revogado pela Lei nº 12.036, de 2009).

c) A carta rogatória obedecerá, quanto à admissibilidade e ao modo de cumprimento, ao disposto na legislação brasileira, devendo necessariamente ser remetida aos juízes ou tribunais estrangeiros por contato direto entre as autoridades judiciárias dos Estados envolvidos. Segundo Nadia de Araujo (Renovar, 2011, p. 302), o Tribunal Rogante envia para o Ministério da Justiça, que procederá ao seu envio ao exterior. Corroborado pelo CPC, Art. 210. A carta rogatória obedecerá, quanto à sua admissibilidade e modo de seu cumprimento, ao disposto na convenção internacional; à falta desta, será remetida à autoridade judiciária estrangeira, por via diplomática, depois de traduzida para a língua do país em que há de praticar-se o ato. 

d) Não conhecendo a lei estrangeira, o juiz brasileiro não pode exigir da parte que a invoque o fornecimento de prova do seu texto e vigência, mas, sim, solicitar às autoridades de outro Estado os elementos de prova ou informação sobre o texto, sentido e alcance legal de seu direito. LIDB (antiga LICC) Art. 14.  Não conhecendo a lei estrangeira, poderá o juiz exigir de quem a invoca prova do texto e da vigência.

 e) A competência jurisdicional brasileira é territorial-relativa e incide sobre o estrangeiro domiciliado no país, sendo competente também o juiz brasileiro quando a obrigação tiver de ser cumprida no Brasil e quando a ação se originar de fato ocorrido ou de ato praticado no território nacional. CPC,  Art. 88, II