Com base nessas informações, julgue o próximo item. é uma es...
Suponha que uma amostra de tamanho n = 1 seja retirada de uma população X~Binomial(m, p), em que m e p são parâmetros desconhecidos. Sabendo que m ∈ {1,2} e que p ∈ {1/5, 1/4} se a amostra aleatória simples for representada por X1, considere a seguinte estatística para a estimação do par (m, p).
Com base nessas informações, julgue o próximo item.
é uma estatística suficiente para a estimação do par de
parâmetros (m, p).
Estimador suficiente é aquele que possui todas as informações sobre o parâmetro. Ou seja, a partir somente do estimador já é possível obter a estimativa do parâmetro.Distribuição Binomial X ∼ B(n,p) n provas independentes p número de sucessos. A estatística τ(X1) possui todas as informações sobre os parâmetros da Binomial.Portanto, Item CERTO.
Exemplo: Somatório de Xi é suficiente para xbarra? Sim. Pois, sabendo a soma e a quantidade de elementos é SUFICIENTE para se obter xbarra.
Uma estatística T(X) de uma amostra aleatória X = (X1, ... Xn), independente e identicamente distribuída com distribuição f(x | a1, ..., an), é suficiente para os parâmetros a1,..., an quando a distribuição condicional de X condicionada a T independe dos parâmetros a1,...,an.
Vejamos como isso funciona nesse caso:
Como:
P(T = (1, 1/5) ) = f(0|(m,p)) = (1 - p)^m
P(T = (2, 1/4) ) = P(X = 1 ou X = 2) = f(1|(m,p)) + f(2|(m,p)) = m · p · (1- p) ^ (m - 1) + K · p² · (1 - p) ^ (m - 2)
em que K = 1 se m = 2 e 0 se m = 1 caso contrário. Calculando P(X = x | T = t) para x=1 e t=(2, 1/4) segue que:
P( X = 1 | T = (2, 1/4) ) = P( X = 1 , T = (2,1/4) ) = P(X = 1) / P(X = 1 ou X = 2) = 1 / (1 - (K / m) · (p / (1 - p) )
Note que P( X = 1 | T = (2, 1/4) ) depende de (m,p). De fato, se (m, p) = (2, 1/5) temos
P(X = 1 | T = (2, 1/4)) = 1 / (1 - 1/2 · 1/5 · 5/4) = 8/7
e se (m,p) = (2, 1/4) temos
P(X = 1 | T = (2, 1/4)) = 1 / (1 - 1/2 · 1/4 · 4/3) = 6/5
Portanto, as estatística T não é suficiente, pois X|T depende de (m, p).
Minha resposta: errado.
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