Questões de Concurso Comentadas por alunos sobre geometria analítica em matemática

Ao trabalhar com a representação geométrica de equações em uma turma do Ensino Médio, por meio do software GeoGebra, um professor propôs a seguinte tarefa:

1) Construa a circunferência cuja equação normal é λ : x² + y² - 2x - 4y + 4 = 0

2) Construa as retas s : 3x + 4y + 4 = 0 e t : 2x + 6y = 4

3) Em seguida encontre a posição entre a circunferência λ e as retas s e t.

No decorrer das construções no GeoGebra, o professor escolheu duas imagens (antes da finalização da tarefa) com o intuito de problematizar as resoluções dos alunos. Essas discussões foram realizadas ao final da aula, no processo de sistematização da atividade. A seguir apresentamos as imagens escolhidas pelo professor:

Considerando as escolhas do professor e os resultados corretos das atividades propostas, é correto afirmar que:

Três ruas de uma cidade se cruzam. Se os cruzamentos forem colocados sobre um plano cartesiano determinam os pontos M (1, 3), N (3, 5) e O (a, 1). Os cruzamentos dessas ruas serão vértices de um triângulo se

A Catedral de São Paulo, em Londres, apresenta um fenômeno interessante chamado “galeria de sussurro”: dois visitantes localizados em pontos diametralmente opostos em relação ao centro podem conversar sussurrando. Isto acontece porque o teto e as paredes da Catedral formam um semi-elipsóide de revolução com focos localizados numa altura razoável. Este fenômeno é conseqüência da seguinte propriedade da elipse:

Considere o sistema cartesiano ortogonal s1 = (0,x,y) no plano. Sejam o ponto P = (2,3) e a reta r : 2x-y +5 = 0. Seja o sistema obtido pela rotação do sistema s₁ de π/3 radianos no sentido anti-horário. Então, a equação da reta r no sistema é dada por