Questões de Concurso Para inpe

Modelos de previsão meteorológica utilizados em esquemas de assimilação variacional como o 4D-VAR são, em geral, não-lineares e complexos, implementados em grandes quantidades de linhas de código de software. A implementação dos esquemas pode requerer, ainda, os cálculos do Modelo Tangente Linear (Tangent Linear Model - TLM) e do Modelo Adjunto, os quais podem, frequentemente, ser computados de maneira eficiente.

O conjunto de técnicas utilizadas para computação eficiente dos modelos mencionados constituem ferramentas de

Em assimilação variacional, frequentemente são encontrados problemas inversos mal-postos, (ill-posed problems). Esses problemas podem ser convertidos em bem-postos (well-posed) pelo uso de técnicas de regularização. Um exemplo é o uso da regularização de Tikhonov, em que se adiciona um termo de regularização a um funcional a ser minimizado, evitando-se assim instabilidades numéricas durante o cálculo da solução.

Por exemplo: suponha que se busque um vetor x que resolva o sistema Hx = y, minimizando-se o funcional




em que  é a norma L² (isto é, um problema de mínimos quadrados mal-posto). Pode-se adicionar o termo de regularização de Tikhonov ao funcional, substituindo-o por




em que  , e I é a matriz identidade.

Considere um caso hipotético onde as variáveis H, y e α possuem os seguintes valores:




Neste caso, o vetor X que minimiza  é:

Relacione os algoritmos de otimização utilizados em assimilação de dados variacional com suas respectivas características correspondentes.

1. Método de Newton
2. Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS)
3. Gradiente Conjugado
( ) Determina pontos cada vez mais próximos das soluções dos problemas de otimização mudando a direção de busca a cada iteração.
( ) Requer o cálculo das expressões fechadas dos gradientes e matrizes Hessianas a cada iteração.
( ) Utiliza aproximações de matrizes Hessianas e suas inversas para reduzir a carga computacional a cada iteração.

Assinale a opção que indica a relação correta, segundo a ordem apresentada.

Métodos de assimilação de dados clássicos são tradicionalmente classificados em sequenciais ou variacionais. Os métodos variacionais guardam semelhanças com a teoria de controle ótimo, por sua vez desenvolvida a partir do estabelecimento dos fundamentos do cálculo variacional.

Com relação à formulação variacional de assimilação de dados, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para a verdadeira e (F) para a falsa.

( ) Trata-se da busca por estados dos sistemas que minimizam um funcional de custo, em geral definido como um erro quadrático entre observações e predições correspondentes àqueles estados, calculadas por modelos matemáticos.
( ) Envolve a necessidade de aplicação de técnicas de localização e/ou inflação de covariâncias para eliminar correlações espurias entre possíveis soluções de problemas de otimização.
( ) Baseia-se em otimizações com restrições dinâmicas fortes, introduzidas no problema por uso de multiplicadores de Largrange; ou fracas, introduzidas no problema como termos ponderados de penalidades.

As afirmativas são, respectivamente,

O problema de previsão numérica de tempo em escala global é de altíssima dimensionalidade, envolvendo, por exemplo, representações de estados com centenas de milhões de variáveis.

Essa alta dimensionalidade impõe grandes dificuldades para a aplicação de filtros de partículas (PF) em problemas de assimilação de dados com muitas observações independentes, porque nessas situações o número de partículas necessárias para representar as distribuições de probabilidade cresce exponencialmente.

Técnicas recentemente desenvolvidas que visam contornar essas dificuldades baseiam-se em combinar filtros de partículas e filtros de Kalman por conjunto (EnKF), criando-se soluções híbridas PF-EnKF.

Assinale a opção que indica a principal vantagem de se utilizar filtros híbridos PF-EnKF.

A reamostragem em filtros de partículas pode ser realizada por meio da criação de novas amostras retiradas das distribuições de probabilidade discretas correspondentes a conjuntos de partículas e suas configurações de pesos. No entanto, o fato de as novas amostras serem criadas exatamente nos mesmos pontos do espaço em que se localizam as partículas anteriores é inconveniente, pois facilita o empobrecimento das partículas (i.e., o chamado particle impoverishment).

Uma forma de produzir um novo conjunto de partículas em pontos distintos é substituir as distribuições discretas de probabilidade por aproximações contínuas e, somente então, realizar a reamostragem. A criação dessas aproximações se dá por meio de uma operação matemática entre a distribuição de probabilidade discreta e um kernel contínuo.

Nesse contexto, o processo de reamostragem em distribuições de probabilidade contínuas, que aproximam distribuições discretas correspondentes às configurações de partículas, é chamado de

Filtros de partículas são, em geral, implementados com o uso de reamostragem sequencial por importância. Essa reamostragem pode ser adaptativa, ocorrendo apenas quando a métrica denominada número efetivo de partículas é considerada muito baixa.

Considerando um filtro de partículas com N partículas cujos pesos são dados por w_(i) ,i = 1, … , N, a estimativa do número efetivo de partículas é dada por

Filtros de Partículas são implementações não paramétricas de filtros Bayesianos em que as distribuições de probabilidade não são explicitamente definidas, sendo, portanto, representadas por um conjunto de amostras provenientes delas próprias (denominadas partículas).

Com relação aos filtros de partículas, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para a verdadeira e (F) para a falsa.

( ) As partículas representam observações (ou medidas) obtidas por sensores aplicados ao sistema em análise, e a elas são associados pesos proporcionais às suas probabilidades de coincidirem com medidas correspondentes ao estado verdadeiro do sistema.
( ) Quando aplicados à assimilação de dados, a cada passo de assimilação, novos pesos são atribuídos às partículas. Caso não seja realizado nenhum processo de reamostragem, o conjunto de partículas costuma degenerar-se, com uma das partículas recebendo peso normalizado próximo de 1 e as outras partículas recebendo pesos normalizados próximos de 0.
( ) São capazes de representar distribuições de probabilidade multimodais, isto é, cujas densidades de probabilidade possuem mais de um máximo local.

As afirmativas são, respectivamente,

Considere o modelo não linear e o Filtro de Kalman por Conjunto (EnKF) detalhados na questão 04.

Para garantir estimativas de covariâncias não enviesadas, a matriz B pode ser calculada pela expressão:

Seja um modelo não linear dado por:




em que: x_k é um vetor de estados de n dimensões em um dado instante de tempo K; M e H são mapeamentos não-lineares de Rⁿ para Rⁿ e de R^m para R^m, respectivamente; q e r são vetores aleatórios gaussianos de média nula e covariância Q e R, respectivamente.

Considere a implementação de um Filtro de Kalman por Conjunto (Ensemble Kalman Filter - EnKF) com 1000 pontos representando possíveis estados. Cada um dos 1000 pontos é denotado x_t⁽ⁱ⁾, onde i é inteiro e varia de 1 a 1000.

Considere, ainda, que a média dos pontos do conjunto no instante k pode ser representada por , e que o ganho de Kalman no instante k é geralmente representado pelo produto de uma matriz A pela inversa de uma matriz B (K_k = AB⁻¹).

Considerando as condições enunciadas acima, para garantir estimativas de covariâncias não enviesadas, a matriz A pode ser calculada pela expressão:

O Filtro de Kalman por Conjunto, ou Ensemble Kalman Filter - EnKF, representa uma alternativa ao Filtro de Kalman Clássico (KF) e ao Filtro de Kalman Estendido (EKF) para a assimilação de dados sequencial com grandes conjuntos de dados.

Entre as vantagens do EnKF com relação ao KF e ao EKF, destaca-se a 

A utilização de Filtros de Kalman clássicos (Kalman Filters - KF) ou estendidos (Extended Kalman Filters - EKF) para a assimilação de dados envolve dificuldades práticas.

Com relação a essas dificuldades, analise as afirmativas a seguir.

I. O EKF é o método otimizado para a assimilação de dados sequencial de um modelo dinâmico linear n-dimensional, sendo o KF apropriado apenas para sistemas unidimensionais.
II. O uso do KF e do EKF em modelos dinâmicos que contam com vetores de estados com muitas dimensões requer alta capacidade computacional e de armazenamento, tornando-os práticos apenas para modelos simplificados, de baixa dimensionalidade.
III. A linearização de modelos não lineares envolve a aproximação de funções matemáticas com o truncamento de séries, o que pode gerar erros de propagação de covariâncias, especialmente em modelos de alta dimensionalidade.

Está correto o que se afirma em

Filtros Bayesianos são métodos usados para estimar o estado de um sistema dinâmico que seja observado por meio de medidas com incertezas. Entre os algoritmos utilizados para implementação de filtros Bayesianos, pode-se citar o Filtro de Kalman clássico, aplicável a sistemas de modelos lineares e com distribuições Gaussianas de probabilidade.

Nesse contexto, assinale a opção que indica uma das características do Filtro de Kalman clássico. 

Após se agregar a informação proveniente da medição no tempo k, o valor estimado da variância do estado para esse mesmo instante k será

Após agregar a informação proveniente da medição no tempo k, o valor estimado do estado para esse mesmo instante k será

Antes de agregar a informação proveniente da medição no tempo k, a predição da variância do estado, para esse mesmo instante k, será

Nessas condições, antes de se agregar a informação proveniente da medição no instante de tempo k, a predição do estado para esse mesmo instante k será

Os Filtros Bayesianos são assim chamados por basearem-se na aplicação do Teorema de Bayes, que relaciona distribuições de probabilidade a priori com distribuições de probabilidade a posteriori.

Há dois passos fundamentais para a estimação de estados, onde o primeiro passo está associado ao modelo dinâmico do sistema ou processo, enquanto o segundo passo está associado ao modelo de observações ou sensoriamento.

Neste contexto, os passos são denominados, respectivamente,

Foi ajustado um modelo para prever a precipitação média mensal de chuvas para determinada região em função da temperatura média mensal e da umidade média mensal

Suponha que o seguinte modelo foi obtido:




Supondo que o desvio padrão da temperatura média mensal é igual a 5 e o desvio padrão da umidade média mensal é igual a 4.

A propagação dos erros da precipitação média mensal é

Pesquisadores da área de sistema de assimilação de dados nas componentes do sistema terrestre resolveram utilizar um método de minimização variacional utilizando o algoritmo 3D-VAR para encontrar a solução de um problema de otimização.

Sobre as propriedades numéricas do método utilizado, assinale a afirmativa correta.