Questões Militares de Matemática - Álgebra

O Colégio Militar de Santa Maria (CMSM), na última edição do IDEB realizado em 2017, alcançou a média 7,5 (sete vírgula cinco). Dessa forma, superou a média nacional dos estudantes, 4,7 (quatro vírgula sete), e a própria meta estabelecida pelo governo, média 5,0 (cinco). Com isso, obteve o 3° melhor resultado do estado do Rio Grande do Sul, o que demonstra o nível de excelência do ensino do CMSM.
Durante a preparação para o IDEB em 2017, o professor de matemática propôs uma questão de poteuciação e radiciação para os estudantes do 9° ano, conforme descrito a seguir.
Considere que:

Com os valores de “x” e “v” obtidos acima, calcule o valor de “S” na expressão abaixo:

Uma família composta por um casal de avós idosos, uma bisavó, e um casal de pais adultos com seus quatro filhos Ana (15 anos), Beto (10 anos), Carolina (6 anos) e Daniel (1,5 ano) pagou com três notas de R$100,00. Quanto recebeu de troco?

Henrique foi pela manhã a uma Lan House que cobra 5 reais por cada intervalo de 30 minutos de acesso à Internet. O relógio abaixo está marcando o horário exato em que ele iniciou a conexão. Sabendo-se que Henrique pagou R$ 35,00 pelo tempo que ficou conectado, tendo aproveitado todos os minutos a que teve direito, que horas ele terminou a conexão?

De uma estação rodoviária saem ônibus para as cidades A, B e C. Os ônibus para a cidade A saem de 15 em 15 minutos; para a cidade B, saem de 30 em 30 minutos; e para a cidade C, eles partem de 50 em 50 minutos. O relógio abaixo está marcando o horário exato em que partiram ônibus para as três cidades, ao mesmo tempo, pela manhã. Qual o próximo horário previsto para que os três ônibus saiam juntos novamente?
 

Carlos foi à sorveteria Sorvebom com seus sobrinhos e comprou 4 sorvetes, 3 milk shakes e 5 picolés. Pagou com uma nota de R$ 100,00 e recebeu R$ 34,00 de troco. Com as informações dadas e observando a figura abaixo, se ele comprar apenas 2 de cada item mencionado acima, quanto pagará?

Quatro amigas foram ao cinema e, além dos ingressos, compraram dois baldes de pipoca e quatro copos de refrigerante, gastando, ao todo, R$ 100,00. Quanto custou cada ingresso do cinema, sabendo-se que cada copo de refrigerante custou R$ 7,00 e que o preço de um balde de pipoca custou o dobro do preço de um ingresso?

Maria foi a uma loja com R$ 350,00 para comprar um presente de aniversário para sua mãe. Gostou de um perfume e de uma bolsa e, como estavam em promoção, decidiu comprá-los para presentear suas amigas também. Para comprar 4 perfumes, ela precisaria de 10 reais a mais do que tinha. Porém, se ela decidisse comprar 4 bolsas, sobrariam ainda 14 reais. Quanto ela gastaria, no total, para comprar uma bolsa e um perfume?

professor Marcos, trabalhando o assunto de inequações nas turmas do 9° ano do Ensino Médio do CMM, criou uma roleta com vários problemas sobre inequações. Ao girar a roleta, o Aluno Pedro deparou-se com o seguinte problema: Determinar os possíveis valores reais de x que satisfazem a inequação

Dessa forma, podemos afirmar que a solução obtida por Pedro foi:

Maratona é o nome de uma corrida realizada na distância oficial de 42,195 km, normalmente em ruas e estradas. É a única modalidade esportiva que se originou de uma lenda e seu nome foi instituído como uma homenagem à antiga lenda grega do soldado ateniense Fidípides, um mensageiro do exército de Atenas, que teria corrido cerca de 40km entre o campo de batalha de Maratona até Atenas para anunciar aos cidadãos da cidade a vitória dos exércitos atenienses contra os persas e morreu de exaustão, após cumprir a missão.

Sabendo-se que em certa maratona o tempo gasto pelo 1°lugar foi de x horas, onde x é dado pela expressão  , então podemos afirmar que:

A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras. Ele teria produzido uma demonstração (provavelmente geométrica) de que a raiz de 2 é irracional. No entanto, Pitágoras considerava que a raiz de 2 "maculava" a perfeição dos números, e portanto não poderia existir. Mas ele não conseguiu refutar os argumentos de Hipaso com a lógica, e a lenda diz que Pitágoras condenou seu seguidor ao afogamento. A partir daí os números irracionais entraram na obscuridade, e foi só com Eudoxo de Cnido que eles voltaram a ser estudados pelos gregos. O décimo livro da série “Os elementos de Euclides” é dedicado à classificação de números irracionais. Foi só em 1872 que o matemático alemão Dedekind (de 1831 a 1916) fez entrar na Aritmética, em termos rigorosos, os números irracionais que a geometria sugerira havia mais de vinte séculos.

Dessa forma, sobre o número x = √14 − 6√5 + √5 é correto afirmar que:

Aristeu e seu irmão nasceram nos séculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois já fizeram aniversário e a idade de cada um deles é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual é a soma das idades dos dois irmãos?

Nos últimos anos, o Colégio Militar de Santa Maria destacou-se em Olimpíadas do Conhecimento realizadas em âmbito nacional e internacional. No ano de 2018, fruto dos excelentes resultados alcançados na Olimpíada Matemática sem Fronteiras, o CMSM foi convidado para participar da 8a Edição da International Young Mathematicians Convention (IYMC), realizada em Lucknow, na índia. Para esse evento foram selecionados 4 alunos e 2 professores que, no período entre 2 a 5 de dezembro de 2018, estiveram representando o CMSM naquele país. O valor da inscrição de cada participante foi de R$ 3.199,00 (incluídas a hospedagem e a alimentação) e o custo das passagens aéreas (incluídas a ida e a volta) foi de exatamente R$ 13.560,00.

Com base nas informações acima, marque a alternativa que expressa o custo total despendido pelo CMSM para participar do evento.

Considere que cada vagão, como o da foto acima, possui 20 toneladas de massa e, para transportá-los, foi necessária uma prancha puxada por um cavalo mecânico (caminhão). Antes de realizar o transporte, foi necessário calcular se os pneus suportariam a massa dos referidos vagões, pois cada pneu de uma prancha suportava até 1.700 Kg. Determine a única resposta possível que apresenta a quantidade mínima de pneus que deveria ter a prancha para transportar os vagões, um de cada vez, da Rede Ferroviária Federal até o Parque Regional de Manutenção da 3a Região Militar.

Obs: uma tonelada equivale a 1.000 kg.

O enunciado de um desafio de radiciação apresentava a expressão numérica a seguir:

Da análise dos dados, simplifique a expressão e marque a alternativa correta.

Na semana que antecedeu o exame da 2^a fase em 2018, buscando um aprimoramento contínuo, o professor apresentou aos alunos a expressão:

Assim, podemos afirmar que a forma simplificada encontrada foi:

Nos últimos dois anos, o Colégio Militar de Santa Maria, em suas atividades no contraturno escolar, disponibilizou a um grupo de 30 alunos voluntários, do oitavo e nono anos, uma preparação para a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Os alunos, sob orientação de um professor de Matemática, reuniam-se quinzenalmente durante cinco meses para estudar temas e problemas engenhosos.

Em 2018, quatorze alunos se classificaram para a prova da 2^a fase, dos quais 03 (três) foram medalhistas de ouro; 02 (dois), medalhistas de prata; 04 (quatro), medalhistas de bronze e 02 (dois) receberam menção honrosa. Em 2019, a Olimpíada está em andamento e treze alunos do nível 2 se classificaram para a 2^a fase.

Ao estudar potenciação, na preparação para Ia fase da olimpíada em 2019, o professor de Matemática apresentou a seguinte questão: Dadas as potências 17¹⁴, 31¹¹, 2⁵⁵ e 34¹⁴, coloque-as em ordem crescente, ou seja, ordene-as do menor para o maior valor numérico

O Comandante e Diretor de Ensino do CMSM, todo final de mês, reúne os integrantes do Colégio Militar para cumprimentar os aniversariantes do mês. No dia 22 de agosto do corrente, ele parabenizou uma professora de Português que nasceu no dia 15 de agosto de 1965.

Uma outra rotina do Comandante é almoçar com os alunos das diversas séries uma vez por semana. Nesse mesmo dia, 22 de agosto, em um almoço com os alunos do sexto ano, ele cumprimentou um aluno aniversariante do mês, que nasceu no dia 15 de agosto de 2007.

Da análise das informações acima, há quantos anos a idade da referida professora de Português era o quadrado da idade do citado aluno do sexto ano?

No dia 20 de julho do corrente, um temporal com ventos de mais de 100 Kin/h provocou estragos e apagão no Rio Grande do Sul, assolando a cidade de Santa Maria. No dia seguinte, o Colégio Militar de Santa Maria (CMSM) amanheceu sem água pois o reservatório estava totalmente vazio.

Sabe -se que:

a. às 06 h da manhã, o CMSM iniciou o abastecimento da caixa d’água;

b. o abastecimento poderia ser realizado por meio de três fontes:

1) Companhia Rio-Grandense de Saneamento (CORSAN);

2) poço artesiano localizado no interior do CMSM; e

3) caminhão-pipa contratado pelo CMSM;

c. o abastecimento realizado pela CORSAN e pelo poço artesiano simultaneamente leva 4 horas para encher a caixa d’água;

d. a CORSAN, sozinha, para encher a caixa d’água, gasta 6 horas a mais que o abastecimento realizado pelo poço artesiano sozinho;

e. o caminhão-pipa, sozinho, leva 10 horas para encher a caixa d’água;

f. a caixa d’água possui duas válvulas para escoamento de água. Uma das válvulas, sozinha, leva 20 horas para esvaziar a caixa d’ água e a outra, também sozinha, gasta 30 horas para esvaziar a referida caixa d’água;

g. o Setor de Aprovisionamento só pode iniciar a confecção do almoço assim que o nível de água atingir 4/5 do nível total da caixa d’ água;

h. o Setor de Aprovisionamento gasta 02 h e 20 min para confeccionar o almoço;

i. Considere que:

1) o abastecimento da caixa d’água iniciou às 06 h apenas pela CORSAN;

2) depois de 1 hora, o abastecimento passou a ser realizado pelas três fontes, CORSAN, poço artesiano e caminhão-pipa;

3) após 2h do início do abastecimento, as válvulas de escoamento, por um descuido, foram abertas simultaneamente e permaneceram assim até o final do abastecimento, quando a caixa d’água ficou totalmente cheia. Assim que este nível de abastecimento foi atingido, todas as fontes de abastecimento e válvulas de escoamento foram fechadas.

De posse das informações acima, calcule o horário mais cedo possível que o almoço estará pronto.

A comissão de pais de alunos do 9° ano do CMSM, responsável pela festa de formatura de seus filhos em 2019, levantou algumas propostas de confraternização ao término do ano letivo. Uma ideia foi a realização de um passeio ao Parque Temático Beto Carreio World na cidade de Penha, SC. A viagem envolvia o deslocamento aéreo entre Santa Maria-RS e Florianópolis-SC e a realização de um trecho rodoviário entre Florianópolis e Penha.

Duas empresas aéreas apresentaram orçamento para aluguel de aeronave. Uma dispunha de aeronaves de 150 lugares e outra, de 200 lugares. Sabe-se que:

a. a empresa aérea dotada de aeronaves de 150 lugares, cobrou, por passageiro, o valor de R$ 200,00 mais um valor de 20,00 por poltrona não ocupada;

b. a empresa aérea dotada de aeronaves de 200 lugares, cobrou, por passageiro, o valor de R$ 150,00 mais um valor de 15,00 por poltrona não ocupada;

c. o custo operacional para ambas empresas levantarem voo com suas respectivas aeronaves é o mesmo;

d. a empresa aérea contratada teve arrecadação máxima;

e. o Colégio Militar optou pelo melhor custo-benefício, ou seja, foi contratada a empresa cujo custo de contratação da aeronave dividido pelo número de alunos a serem transportados (número de vendas de passagens que gerou a arrecadação máxima) apresentou o menor valor;

f. após a escolha da aeronave, o Colégio Militar estabeleceu que o número de alunos a viajar correspondería ao número de passagens vendidas que gerou arrecadação máxima à empresa aérea vencedora.

Em seguida, para o deslocamento rodoviário, duas empresas de ônibus apresentaram suas propostas orçamentárias com os seguintes valores:

a. a primeira empresa, que dispunha de uma frota de ônibus de 44 lugares, cobrava em reais, pelo aluguel de um ônibus, o valor conforme expressão a seguir; y = 300 + 3x2, onde x é o número de quilômetros rodados pelo ônibus;

b. a segunda empresa, que dispunha de uma frota de ônibus de 54 lugares, cobrava cm reais, pelo aluguel de um ônibus, o valor conforme expressão a seguir; y = 500 + 4x2, onde x c o número de quilômetros rodados pelo ônibus; e

c. no deslocamento rodoviário, o percurso a ser realizado era de 50 km. A empresa contratada foi a que apresentou o menor custo para a necessidade de transporte do colégio.

De posse das informações acima, calcule a quantidade de alunos que realizou o passeio para o Parque Temático Beto Carrero e o valor total gasto no transporte.

A Herança Quantitativa é um caso de interação gênica em que os fenótipos são contínuos e que a variação genética se dá maior ou menor em relação ao número de genes atuantes. Os genes que fazem parte de tal herança são denominados poligenes, sendo que cada um desses contribui com uma parcela do fenótipo em questão. Neste tipo de herança (cor de pele humana, cor do olho humano, altura, peso, cor do cabelo, entre outras), existe um padrão de distribuição que segue ao binômio de Newton: (p + q)ⁿ, sendo n o número de poligenes. (GARCIA, 2011).

Considere o desenvolvimento binomial (3x — 2y )ⁿ, a soma dos coeficientes numéricos dos termos desse desenvolvimento é: