A soma de todas as soluções da equação 2 cos3(x) - cos2(x) -...

A questão consiste, basicamente, em pôr em evidência:

2 cos(x) - cos(x) - 2 cos(x)+ 1=0

cos²x (2cosx - 1) -1 (2cosx - 1) = 0

(2cosx - 1).(cos² - 1) = 0

(2cosx - 1) (cosx + 1).(cosx - 1) = 0

Logo:

2cosx - 1 = 0 ou cosx + 1 = 0 ou cosx - 1 = 0

2cosx = 1

cosx = 1/2

cosx + 1 = 0

cosx = -1

cosx - 1 = 0

cosx = 1

cosx = 1/2 é π/3 e 5π/3

cosx = -1 é π

cosx = 1 é 2π e 0

Soma: 2π + 0 + π + π/3 + 5π/3

Soma : 5π

GABARITO: LETRA D

Um tempinho depois, descobri que também tem como resolver por polinônimos!

Vamos considerar cosx = y

2y³ - y² - 2y + 1 = 0

Agora é só jogar alguns valores pra achar as raizes. (Como trata-se de cos, é muito provável que esses valores sejam alguns dos ângulos notáveis). Após fazer isso, vamos encontrar como raízes 1; -1 e 1/2.

Cos x = 1 --- > 2π

Cos x = -1 ---> π

Cos x = 1/2 ---> π/3 e 5π/3

Soma = 5π/3 + π/3 + 2π + π

Soma = 5π

GABARITO: LETRA D

Se você quiser usar polinômios, como o camarada Víctor comentou, é uma boa utilizar o dispositivo de briot ruffini para abaixar o grau e usar bhaskara para achar as raízes restantes. É sempre bom misturar conteúdos para revisar! BRASIL

Fiz por polinomios cheguei aos arcos de 60°; 180°; 300° e 0° (= 360°) porém fiquei na dúvida se somaria 0π (0°graus) ou 2π (360°)

2cos³(x) - coss²(x) - 2cos(x) + 1 = 0

Coss = y

X1 = 1 = 2π

X2 = -1 = π

x3 = -1/2 = 5π/3 e π/3

2y³ - y² - 2y +1 = 0

1| 2 -1 -2 +1

| 2 -1 -1 0

2y² -y -1 = 0 ∆ = 3

XRS = 1 ± 3/4

S ={x1+X2+x3}

2+5/3 + 1/3 +π = 5π