Questões de Concurso Sobre intervalos de confiança em estatística

Uma oftalmologista tem razões para crer que existe um percentual de crianças com glaucoma em uma escola rural. Desejando estimar esse parâmetro para fins de logística operacional do tratamento, necessita de uma amostra aleatória do grupo de alunos da escola. O número de alunos é conhecido e igual a N. A oftalmologista, então, fixou: o nível de confiança da estimativa em 1 – α, o erro da estimativa em d e uma amostra piloto com tamanho η_o. Nessas condições, o cálculo do tamanho da amostra deve partir

Quando se estima por intervalo o parâmetro μ de uma distribuição normal (Gaussiana), ou seja, a variável aleatória é X ~ N(μ, σ²) e tem-se uma amostra aleatória de tamanho n da distribuição, com sendo a média amostral e s² a variância amostral, deve-se usar o seguinte pivô para obter o intervalo de confiança:

Considere que um economista precise realizar uma pesquisa de opinião pública para saber se determinada população, considerada de tamanho infinito, aprova, ou não, um determinado projeto de reforma. Que tamanho deve ter a amostra para que se possa estimar a proporção de votos favoráveis com um erro máximo igual a 2 pontos percentuais, ao nível de confiança de 95%?

Considere que Φ(1)=0,841, Φ(1,65)=0,95, Φ(2)=0,975 e Φ(2,57)=0,99, em que Φ(Z) é a função de distribuição normal padronizada acumulada e também desconsidere os valores decimais da resposta.

A empresa Viajantes quer estimar, com 95% de confiança e erro máximo de 5%, a percentagem de caminhões que trafegam por suas vias com excesso de peso. O tamanho mínimo da amostra necessária para tanto, supondo os referidos pesos normalmente distribuídos e a proporção média provável igual a 50%, é de:

Segundo o Pnad (Pesquisa Nacional por Amostras de Domicílio) de 2022, o piso nacional dos salários dos professores da educação básica nesse ano era de R$ 3.840,00, valor superior à renda média familiar de 92% dos alunos das escolas públicas.

(Folha de S. Paulo, 20.07.2023, pág. A 15).

Isso posto, assumindo um desvio padrão de 1,2% e um nível de confiança de 95%, o intervalo de confiança normal para a proporção de famílias com rendas não inferiores às dos professores é:

Na avaliação de políticas públicas, é muito comum que o impacto da política seja estimado por um intervalo de confiança. Assim, é possível incorporar à estimativa de impacto a incerteza que se tem a seu respeito.
Nos casos em que se estima uma média populacional μ, o intervalo de confiança tem a forma
a ≤ μ ≤ b,
onde L= b - a é a largura do intervalo.

A largura do intervalo de confiança para a média populacional pode ser reduzida

Se a variável aleatória X tem distribuição normal com média μ e variância σ², ou seja, X ⁓ N(μ, σ²), _s2 = (x_i–x̄)²/n–1 (variância amostral) é a estimativa de σ² com base em uma amostra com n observações, [x₁, x₂, ... , x_n]. Assim, a variável T = X – μ/s  tem distribuição t de Student com n – 1 graus de liberdade, ou seja, T ~ t_n-1. Nesse caso, sabendo que P(T ≤ 2) = 0,968027 e P(T ≥ -2) = 0,031973, é correto afirmar que

Considere que o tempo médio para processar o arquivamento de um processo tem sido de 9,27 segundos em um certo computador. Após uma atualização no seu sistema operacional, coletou-se uma amostra do tempo gasto no arquivamento de dezesseis processos. Com o objetivo de estimar o tempo médio populacional de arquivamento de um processo sob o novo sistema operacional, construiu-se o seguinte intervalo de 90% de confiança baseado na distribuição t-Student: (8,88; 9,18). Com base nos dados fornecidos é INCORRETO afirmar que:

Dados adicionais: P(T₁₅ < 1,34) = 0,90; P(T₁₅ < 1,75) = 0,95; P(T₁₅ < 2,13) = 0,975; P(T₁₅ < 2,95) = 0,995; onde T_K denota uma variável aleatória com distribuição t-Student com K graus de liberdade.

Uma empresa do ramo de turismo procurou um analista de mercado para realizar uma pesquisa de satisfação do seu serviço. Supondo que o nível de significância adotado pelo analista foi de 5% e que o tamanho da amostra foi de 2401 indivíduos, assinale a opção que indica o erro amostral utilizado na pesquisa.

Dado:  = 1,96. 

Um analista investiga, mediante um modelo de regressão linear clássico, a relação entre a rentabilidade y de ofertas públicas disponíveis no mercado e um indicador de risco associado ao emissor, representado pela variável explicativa x. Considera-se que o termo de erro do modelo siga distribuição Normal. Foi utilizada uma amostra aleatória simples de 20 pares (x,y) de observações mensais. O modelo estimado está apresentado a seguir (erros padrão entre parênteses).




O intervalo de 95% de confiança associado ao impacto de x sobre y é (considere apenas 3 casas decimais):

Um indicador de desempenho das instituições que atuam no mercado financeiro brasileiro é avaliado com base nas 8 observações de uma amostra aleatória simples, considerando 8 dessas instituições. O desvio padrão amostral do indicador foi igual a 8.

Supondo que a distribuição dos valores do indicador no universo em estudo seja Normal, o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a variância populacional é, aproximadamente (considere probabilidades iguais nas caudas): 

Suponha que uma população tenha altura média igual a 1,70 m com desvio padrão igual a 0,1 m.
Considere:

F_0,0=0,500;
F_0,5=0,691;
F_1,0=0,841;
F_1,5=0,933;
F_2,0=0,977;
F_2,5=0,994;
F_3,0=0,999,

onde F_x é a função acumulada da distribuição normal padrão.
O intervalo de confiança que contém aproximadamente 95% da população é: 

Uma empresa de pesquisa divulga que determinado candidato tem 30% de intenção de votos, com margem de erro de 2%, para mais ou para menos, e nível de confiança de 95%. No entanto, o resultado nas urnas revelou apenas 25% de votos para o candidato.  

Diante do exposto, é correto afirmar que: 

      Suponha que a resistência, em MPa, de certo tipo de material estrutural sob determinada condição de operação possa ser descrita por uma distribuição normal com média μ desconhecida e desvio padrão σ conhecido. Considere, também, que um estudo experimental tenha sido realizado para se estimar a média μ por meio de uma amostra aleatória simples de tamanho n = 9, obtendo-se a seguinte estimativa intervalar com 95% de confiança: 40 ± 0,5 MPa.

Com respeito a essa situação hipotética, assinale a opção correta.  

Ao fazer um estudo para elaborar um plano de metas, a equipe jurídica do Tribunal de Justiça do Acre deseja estimar o tempo médio que um membro da equipe gasta para a leitura inicial de um processo. Qual o tamanho amostral que deve ser obtido se a margem de erro desejada for de cinco minutos, com um nível de confiança de 95% e supondo um desvio padrão populacional de quinze minutos? Use Z_0,025=1,96.

Sobre os conceitos de Intervalo de Confiança e Teste de Hipótese, julgue as proposições a seguir.

I. Teste de Hipóteses é utilizado para saber se a média populacional, por exemplo, está ou não no intervalo de confiança.

II. O Intervalo de Confiança para a média populacional a partir de uma única observação é melhor ou mais confiável do que o intervalo para a média populacional a partir de uma média amostral.

III. A distribuição T de Student é recomendada quando a quantidade de observações é maior que 30, e a distribuição Z é recomendada quando a quantidade de observações é menor que 30 elementos.

É correto o que se afirma apenas em

Um enfermeiro deseja estudar a duração de baterias que são utilizadas em aparelho de pressão digital. Uma amostra de tamanho 15 de vários lotes fabricados por uma mesma fornecedora foi submetida a testes e produziram os seguintes resultados do tempo de duração (em anos): X = 1,56 e S = 0,305. Determine o intervalo com 90% de confiança para a média do tempo de duração dessas baterias, admitindo que o tempo de duração dessas baterias segue a distribuição normal.

Dado: ta/2​ = 1,761.

Dadas duas amostras aleatórias independentes (X₁, X₂, X₃, X₄) e (Y₁, Y₂, Y₃, Y₄), extraídas, respectivamente de uma população X ~ N (μ1​, σ12​) e Y ~N (μ2​, σ22​) Sabendo-se as médias amostrais são respectivamente iguais a: xˉ=15 e yˉ​=9. Supondo σ12​=16, σ22​=20, um intervalo de confiança para (μ1​−μ2​) com coeficiente de confiança γ=92,8 % é dado por: