Questões de Estatística - Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência para Concurso

Em uma pesquisa cujo objetivo foi investigar as condições do saneamento básico do País junto às prefeituras municipais e empresas contratadas para a prestação desses serviços, foram incluídas questões como captação, adequação da qualidade e fornecimento de água através de rede geral de distribuição, entre outras. Os resultados obtidos para um pequeno município de 10000 habitantes, quanto à satisfação com as medidas de prevenção de alagamentos e erosões nos municípios, estão sumarizados na Tabela a seguir, sendo que os sujeitos participantes da pesquisa foram classificados em: morador da cidade (C), subúrbio (S) e morador da área rural (R).
Tabela – Resultados da pesquisa quanto à prevenção de alagamentos e erosões
Satisfeitos (com as Insatisfeitos (com as medidas) medidas) C 1500 2500 S 2500 1500 R 500 1500
Definindo os eventos: A : a pessoa escolhida vive na cidade B: a pessoa não aprova as medidas de prevenção de alagamentos e erosões do município.
Diante do exposto, a probabilidade do evento é

A distribuição normal auxilia na identificação de indicativos de padrões de qualidade de manufatura, processos e serviços. Sobre distribuição, considere a seguinte figura e informe se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se afirma a seguir.

( ) As duas distribuições normais acima apresentam média 2 e 4 e desvio padrão de 10. ( ) A probabilidade de encontrar um valor entre -1σ e +1 σ é maior na distribuição onde σ = 2. ( ) Nos dois processos representados pela distribuição normal, a que apresenta σ = 4 detém o maior índice de confiabilidade de processo, porque este apresenta a menor variabilidade quando comparado ao processo representado pela distribuição normal onde σ = 2 . ( ) As duas distribuições normais acima apresentam média de 10 e desvio padrão de 2 e 4. 

Probabilidades condicionais podem ser utilizadas para calcular probabilidades não condicionais. Assinale a alternativa que contém: a função de densidade marginal de X e a densidade conjunta de X e Y, obtidas da densidade condicional de X dado Y.

Na estimação pelo método de máxima verossimilhança, geralmente, o método de Newton-Rapson é utilizado para encontrar as estimativas dos parâmetros. X é uma variável aleatória definida sob um espaço de probabilidade (Ω, σ, P)com x ∈ Ω e função de densidade de probabilidade ƒ (x, θ) , onde θ ∈ R; X = (x₁, x₂, ... , x_n) é uma amostra aleatória de X e ƒ(x_i , θ) a função de verossimilhança. Suponha que a estimativa de máxima verossimilhança de θ, , satisfaz . Sendo a estimativa de θ, após a iteração k do algoritmo, então:

Calcule a distribuição de probabilidade de X₁ na cadeia de Markov com espaço de estados E = {0; 1; 2; 3}, distribuição inicial u₀ = {(0,2 0,4 0,3 0,1)} e matriz de probabilidade de transição definida por