Questões de Matemática - Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes para Concurso

Considerando que Z_n representa o conjunto dos inteiros módulo n e que M_n representa o conjunto das matrizes quadradas n × n, cada um com as operações de adição e multiplicação usuais, julgue o item seguinte, a respeito da álgebra de corpos, anéis e grupos.

O anel Z₂ é um corpo

Considerando as transformações lineares P: R³ → R² e T: R² → R³ , dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x, y) = (x, y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes associadas às transformações P e T nas bases canônicas sejam indicadas, respectivamente, por P e T, julgue o item que se segue.

As matrizes P × T e T × P são, ambas, quadradas e inversíveis.

Considerando as transformações lineares P: R³ → R² e T: R² → R³ , dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x,y) = (x,y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes associadas às transformações P e T nas bases canônicas sejam indicadas, respectivamente, por P e T, julgue o item que se segue.

A transformação linear composta P º T é uma bijeção de R² em R².

Considerando as transformações lineares P: R³ → R² e T: R² → R³ , dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x,y) e T(x,y) = (x,y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes associadas às transformações P e T nas bases canônicas sejam indicadas, respectivamente, por P e T, julgue o item que se segue.

O núcleo da transformação linear composta T º P é gerado pelo vetor e₃ = (0, 0, 1), isto é, um vetor v = (x, y, z) está no núcleo de T º P, se, e somente se, x = y = 0. 

Considerando as transformações lineares P: R³ → R² e T: R² → R³ , dadas, respectivamente, por P(x, y, z) = (x, y) e T(x, y) = (x, y, x + y), e considerando, ainda, que as matrizes associadas às transformações P e T nas bases canônicas sejam indicadas, respectivamente, por P e T, julgue o item que se segue.

A imagem da transformação T é um subespaço vetorial de R³ com dimensão 2.