Quanto às funções exercidas pelo juiz:

a) ERRADA. No julgamento da lide caber-lhe-á aplicar as normas legais; não as havendo, recorrerá à analogia, aos costumes e aos princípios gerais de direito. (Art.126, segunda parte, CPC)

b) ERRADA. O juiz só decidirá por eqüidade nos casos previstos em lei. (Art. 127, CPC)

c) CORRETA. (Art. 125,CPC)

d) ERRADA. Caberá ao juiz, de ofício ou a requerimento da parte, determinar as provas necessárias à instrução do processo, indeferindo as diligências inúteis ou meramente protelatórias. (Art. 130, CPC)

e) ERRADA. O juiz decidirá a lide nos limites em que foi proposta, sendo-lhe defeso conhecer de questões, não suscitadas, a cujo respeito a lei exige a iniciativa da parte. (Art. 128, CPC)

Letra C: CORRETA. Inteligência do art. 125 do CPC, in verbis:

Art. 125. O juiz dirigirá o processo conforme as disposições deste Código, competindo-lhe:
I - assegurar às partes igualdade de tratamento;
II - velar pela rápida solução do litígio;
III - prevenir ou reprimir qualquer ato contrário à dignidade da Justiça;
IV - tentar, a qualquer tempo, conciliar as partes.
 

b) julgar POR equidade x  julgar COM equidade
Em tese, todo juiz julga julga COM equidade, tendo em vista o princípio da imparcialidade.
Ocorre que somente em alguns casos o juiz julga POR equidade.Julgar por equidade é nada mais do que flexibilizar a plicação do direito positivo nos casos previstos em lei , quais sejam, aqueles enunciados no art. 4º e 5º da Lei de Introdução as Normas do Direito Brasileiro (antiga LICC), ou seja, a) como meio supletivo de integração e interpretação de normas e b) para atender aos fins sociais e bem comum determinados pela lei. confira-se:

Art. 4^o Quando a lei for omissa, o juiz decidirá o caso de acordo com a analogia, os costumes e os princípios gerais de direito.

Art. 5^o Na aplicação da lei, o juiz atenderá aos fins sociais a que ela se dirige e às exigências do bem comum.

 

LETRA "C"
complementando, SOBRE A LETRA "E":
NÃO confundir artigos 128 e 131 CPC

 Art. 128.  O juiz decidirá a lide nos limites em que foi proposta, sendo-lhe defeso conhecer de questões, não suscitadas, a cujo respeito a lei exige a iniciativa da parte.
 Art. 131.  O juiz apreciará livremente a prova, atendendo aos fatos e circunstâncias constantes dos autos, ainda que não alegados pelas partes; mas deverá indicar, na sentença, os motivos que Ihe formaram o convencimento. 
BONS ESTUDOS!

Alternativa “a”. Errada. Conforme art. 126 do CPC,  o  juiz não se exime de  sentenciar ou despachar alegando lacuna ou obscuridade da lei. No julgamento da  lide caber-lhe-á aplicar as normas legais; não as havendo, recorrerá à analogia, aos  costumes e aos princípios gerais de direito.
 
Alternativa “b”. Errada. Pelo art. 127 do CPC, o julgamento por equidade só  ocorre nos casos previstos em lei, portanto, é hipótese excepcional.
 
Alternativa “c”. Correta. O juiz dirigirá o processo conforme as disposições  do CPC, competindo-lhe: I  -  assegurar às partes igualdade de tratamento; II  -  velar  pela rápida solução do litígio; III  -  prevenir ou reprimir qualquer ato contrário à  dignidade da Justiça; IV  -  tentar, a qualquer tempo, conciliar as partes (art. 125 do CPC e incisos).
 
Alternativa “d”. Errada. Conforme art. 130 do CPC, caberá ao juiz, de ofício  ou a requerimento da parte, determinar as provas necessárias à instrução do  processo.
 
Alternativa “e”. Errada. O art. 128 do CPC nos traz a orientação acertada  para esse item.  O juiz decidirá a lide nos limites em que foi proposta, sendo-lhe  defeso conhecer de questões, não suscitadas, a cujo respeito a lei exige a iniciativa  da parte.
 
 
Gabarito: C