Sejam A, B e C três eventos de um mesmo espaço amostral de t...

(A ∪ B) ⊂ C e A ∩ B ≠ Ø .

(A ∪ B) = união entre o A e o B

⊂ C  = Complementa o C

e = Sendo dois grupos iguais (ou seja, faz parte dos dois grupos)

A ∩ B = interseção

≠ Ø = diferente de neutro

Gabarito B

= P(A ∩ B | A ∪ B) ≥ P(A ∩ B | C);

≥ = sendo que o primeiro grupo e igual ou maior que o segundo grupo.

Sendo (AUB) Associativa UC = AU (BUC) que é diferente de A∩B no grupo de C.

Alguém pode explicar por qual motivo a alternativa D está errada?

Letra A

Honestamente falando, eu marcaria "letra A - correta". Só depois de ver que a letra "B" também está correta é que eu sairia procurando "pelo em ovo" para justificar alguma marcação diferente na letra "A".

Foi dito que A∩B≠∅. Ora, isso nos garante que os dois conjuntos não são vazios. Portanto, ambos têm probabilidade não nula.

P(A)>0,P(B)>0

∴P(A)⋅P(B)≠0

Que foi justamente o que disse a letra "A".

A única maneira que eu vejo de justificar o contrário, ou seja, que a letra "A" está errada, é se trabalharmos com um espaço amostral contínuo. Neste caso, a existência de elementos em um evento não garante probabilidade diferente de 0.

Exemplo:

Espaço amostral: conjunto dos números reais entre 0 e 10. Ou seja, [0,10]

Conjunto A = {1, 2, 3}

Conjunto B = [2,4]

Conjunto C = [1,5]

Neste caso, respeitamos todas as informações do enunciado, e mesmo assim P(A)=0, pois há três casos possíveis num universo de infinitos números reais. Daí que, neste exemplo, P(A)⋅P(B)=0.

Letra A - INCORRETA.

Letra B

Vamos analisar separadamente os dois lados da desigualdade. Começando por:

P(A∩B|A∪B)

=P[(A∩B)∩(A∪B)] /P(A∪B)

Ora, vejam que A∩B está contido em A∪B. Então, quando fazemos a intersecção entre ambos, ficamos com o menor dos dois conjuntos.

=P(A∩B) /P(A∪B)

Agora vamos para o segundo lado da desigualdade:

P(A∩B|C)=?

=P[(A∩B)∩C]/P(C)

Sabemos que A∩B está contido em A∪B. E o enunciado garantiu que este último está contido em C. Logo, A∩B

está contido em C. Assim, ao fazer a intersecção entre ambos, ficamos com o menor dos dois conjuntos.

=P(A∩B)/P(C)

Comparando as frações em azul e vermelho, vemos que ambas possuem o mesmo numerador (P(A∩B)), e só muda o denominador. Na fração em azul o denominador é P(A∪B). Na fração em vermelho o denominador é P(C). O maior denominador, que é P(C), deve corresponder à menor fração.

Portanto:

P(A∩B)/P(A∪B)≥P(A∩B)/P(C)

Ou ainda:

P(A∩B|A∪B)≥P(A∩B|C)

fonte: TECCONCURSOS

Alternativa B - CORRETA.

Obs: não era preciso fazer este desenvolvimento todo. A alternativa poderia ser analisada de forma mais rápida se notássemos o seguinte. Queremos calcular a chance de A∩B. Na primeira situação, é dado que ocorreu A∪B. Na segunda, é dado que ocorreu C. Ora, quanto mais abrangente for o evento dado, menor a probabilidade condicional. O inverso também vale: quanto mais restritivo for o evento dado, maior a probabilidade condicional.

Basta pensar no seguinte exemplo. Imagine que queremos calcular a chance de, no lançamento de um dado de seis faces, sair o resultado 1. Num primeiro cenário, é dado que o resultado é ímpar (o que nos deixa com três possibilidades: 1, 3 e 5 - chance de 33,33%). Num segundo cenário, é dado que o resultado é ímpar e menor que 4 (o que nos deixa com duas possibilidades: 1 e 3 - chance de 50%). Ora, a chance de sair 1 é maior no segundo caso, pois o evento dado foi mais restritivo, nos deixando com menos possibilidades.

Dado um evento muito restritivo---> sobram poucas possibilidades --> nossas chances são grandes

Dado um evento bem abrangente --> ainda restam muitos casos ---> nossas chances ainda são baixas

Com este mesmo raciocínio fica imediato analisar a Letra C. Queremos calcular a chance de A, sedo que:

• num caso, é dado o evento C
• no outro, é dado o evento B

Oras, sabemos que B está contido em C. Então B é mais restritivo, é "menor". Portanto, corresponde à maior probabilidade.

P(A|B)>P(A|C)

Alternativa C - INCORRETA.

Na letra D, temos:

(A∪B)⊂C

∴P(A∪B)≤P(C)

Agora trabalhamos a fórmula da probabilidade da união:

P(A)+P(B)−P(A∩B)≤P(C)

A letra D ignorou a parcela em vermelho, como se ela fosse nula. Mas ela pode muito bem ser diferente de zero, pois o enunciado garantiu que a intersecção entre A e B não é vazia.

Alternativa D - INCORRETA.

Na letra "E", foi dito que:

P(A∩B)=1−P(A∩B¯)

Juntando as duas probabilidades do lado esquerdo, isso é o mesmo que dizer que a soma de ambas vale 1:

P(A∩B)+P(A∩B¯)=1

O exercício se referiu a duas probabilidades:

1) P(A∩B)

2) P(A∩B¯)

A questão disse ainda que as duas probabilidades somam 100%.

Mas isso não é garantido, pois é possível que tenhamos elementos na região que não pertence nem a "A" e nem a "B".

Portanto, alternativa E - INCORRETA.

fonte: TECCONCURSOS