Os eventos A, B e C de um espaço amostral são tais que A é ...

LETRA A - Não temos como afirmar isso, a questão abordou somente A independente de B e B independente de C.

LETRA B - Não é possível tal inferência, só há o relacionamento de A com B e B com C, não sabemos o comprotamente de A com C.

LETRA C - Ser mutuamente exclusivos significa ter a probabilidade nula da interseção de A e C, como não foi exposto o relacionamento de A com C, não é possível afirmar. 

LETRA D - Se B independe de C, então B é independente do complementar de C.

LETRA E 

P (A ∩ B/C) = P(A) x P(B/C) 

B é independente de C, então:

P(A) X P (B) é diferente de P(A) x P(B) x P(C) 

GABARITO: LETRA D 

Alternativa A - INCORRETA.

Vejamos um contraexemplo (não me acostumo a escrever isso sem hífen).

Suponha o lançamento simultâneo de um dado e uma moeda. Os eventos serão:

A = resultado "par" no dado

B = resultado "cara" na moeda

C = resultado "maior que 3" no dado

Notem que A é claramente independente de B, pois o resultado do dado não interfere em nada no resultado da moeda.

Notem ainda que B é independente de C, pois, novamente, o resultado da moeda não interfere em nada no resultado do dado.

Ou seja, nesse exemplo, estamos obedecendo a todos os requisitos do enunciado!

Mas não podemos dizer que A é independente de C. Vejamos:

i) Caso A ocorra, nossos casos possíveis se restringem aos valores {2, 4, 6}. A chance do evento C será de 2/3, pois apenas 2 destes 3 valores são maiores que 3.

ii) Caso A não ocorra, nossos casos possíveis se restringem aos valores {1, 3, 5}. A chance do evento C vai para 1/3, pois apenas 1 destes 3 valores é maior que 3

Ou seja, a ocorrência de "A" impacta na chance de C. Portanto, no contraexemplo acima, A e C não são independentes.

Alternativa A incorreta.

Alternativa B - INCORRETA.

Quando há três eventos em análise, a independência deles pode ser completa, ou mútua. 

Para tanto, precisamos avaliar as seguintes equações:

P(A∩B)=P(A)×P(B)(1)

P(A∩C)=P(A)×P(C)(2)

P(B∩C)=P(B)×P(C)(3)

P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C)(4)

Se apenas as equações (1), (2) e (3) ocorrem, dizemos que os eventos são mutuamente independentes. 

Se todas as quatro equações ocorrem dizemos que os eventos são completamente independentes. 

A alternativa B trata do caso de "mutuamente independentes", ou seja, só podemos jogar com as três primeiras equações. O enunciado nos disse que:

• A é independente de B. Isso garante a equação (1)
• B é independente de C. Isso garante a equação (3)

Contudo, como vimos na alternativa "A", é perfeitamente possível que A

 e C

 sejam dependentes entre si, furando a equação (3). Portanto, não é possível garantir que os eventos sejam mutuamente independentes.

Alternativa C - INCORRETA.

Dois eventos são mutuamente excludentes quando eles nunca podem ocorrer simultaneamente. Ou seja, a ocorrência de um deles exclui a possibilidade do outro também ocorrer.

No contraexemplo dado na alternativa "A", vimos que A e C eram dependentes sim, mas não eram mutuamente excludentes. Era perfeitamente possível que ambos ocorressem juntos, como aconteceu na terceira linha da tabela. Letra C incorreta.

Alternativa D - CORRETA.

Foi dito que B é independente de C. Isto significa que:

• a ocorrência de C não interfere na probabilidade de B
• a não ocorrência de C (logo, a ocorrência de C-complementar) também não interfere na probabilidade de B.

Por conta do trecho destacado em vermelho acima, concluímos que B é independente do complementar de C. Correta a alternativa "D".

Para quem preferir uma análise matemática, segue:

i) Foi dito que B é independente de C. Portanto:

P(B∩C)=P(B)×P(C)

ii) Vamos calcular a seguinte probabilidade:

P(B)×P(CC)

=P(B)×(1−P(C))

=P(B)−P(B)×P(C)

=P(B)−P(B∩C)

Oras, se do conjunto B retiramos a parte B∩C, sobra só a parte B∩CC.

=P(B∩CC

Mostrando que B é independente do evento complementar de C.

Alternativa E - INCORRETA

Vejam o seguinte contraexemplo.

A = resultado "par" no dado

B = resultado "cara" na moeda

C = resultado "maior que três" no dado.

Primeiro calculamos o lado esquerdo da equação:

P(A)×P(B)×P(C)

=0,5×0,5×0,5=0,125

Agora calculamos o lado direito da equação:

P(A∩B|C)=P(A∩B∩C)/P(C)

No numerador, B é independente dos outros eventos, então sua probabilidade pode ser colocada em evidência:

=P(B)×P(A∩C)/P(C)

O evento A∩C corresponde ao conjunto dos números que são pares e maiores que 3. Ou seja, é o conjunto {4, 6}. Como temos dois casos favoráveis em 6, a chance é de 2/6 = 1/3.

=0,5×1/3/0,5

=1/3

Os dois valores não foram iguais. O lado esquerdo foi 0,125; o direito, 1/3. Mostrando que a letra E está errada.