Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com certa distribuição...

a)  se X e Y são independentes E(Y/X=x)=E(X/Y=y),∀(x,y)

Errado: Se X é independente de Y, então E(X|Y) = E(X). Em especial, E(Y|X) = E(Y). No caso de X e Y independentes, a igualdade 

E ( Y/ X= x) = E(X/Y =y) 

implica que E(Y) = E(X), o que não é necessariamente verdade.

 b)  Var(X|Y=y)=E(X^2|Y=y)−E(X)^2

Errado: Pela definição de variância, 

Var(X|Y=y)=E(X^2|Y=y)−E(X|Y=y)^2

c)  E_X [ E( Y| X = x)] = E (Y), onde E_y é a esperança para todo X;

Correto: Essa é uma das propriedades fundamentais da esperança condicional:

E(E(Y|X)) = E(Y).

Vale ressaltar que a esperança acima faz sentido, pois E(Y|X) é uma variável aleatória vista como função de X, o que nos permite calcular E(X) para todo X

d)  E_Y [ E (X | Y = )] = E (Y), onde E_y é a esperança para todo Y;

Errado: Como visto no item anterior, foi realizada uma inversão das variáveis aleatórias na conclusão da igualdade O correto seria

EY[E(X|Y)]=E(X)

e)  Var(X|Y=y)=E(X^2)−E(X|Y=y))^2

Errado: Como mencionado no item (b), pela definição de variância:

Var(X|Y=y)=E(X^2|Y=y)−E(X|Y=y)^2

Gabarito: Letra C

"Lei da Esperança Total" no contexto da estatística, também conhecida como Teorema da Esperança Total.

O Teorema da Esperança Total é um conceito fundamental em estatística e probabilidade que descreve a expectativa de uma variável aleatória condicional à informação de outra variável aleatória. De forma simplificada, ele afirma que a esperança (valor médio) de uma variável aleatória pode ser calculada considerando a soma das esperanças das distribuições condicionais dessa variável em relação a outra variável.

Matematicamente, se X e Y são duas variáveis aleatórias, então a esperança de X pode ser calculada como a soma da esperança de X dado Y e a esperança de Y, multiplicada pela probabilidade de Y:

E(X) = E(E(X|Y)) = ∑[E(X|Y=y) * P(Y=y)]

Este teorema é muito útil em muitas áreas da estatística, incluindo teoria da probabilidade, inferência estatística, modelagem estatística e processos estocásticos. Ele é frequentemente aplicado em estudos de regressão, análise de variância, teoria de filas, entre outros.