Suponha que a quantidade pivotal para a construção de um in...

O que significa o apóstrofo que acompanha o parâmetro?

Se Q=Q(X1,...,Xn;θ) é uma quantidade pivotal com função de densidade de probabilidade, então:

Para cada γ=1−α fixado, é possível encontrar q1 e q2 na distribuição de Q tal que P(q1≤Q≤q2)=γ, sendo a distribuição de Q independente de θ.Em especial, então q1 e q2 também não dependem de θ2, tais que:

q1≤Q≤q2 se e somente se T1≤θ≤T2

então [T1,T2]é um intervalo de 100(1−α)% de confiança para θ.

Dessa forma, a resposta do exercício se dará ao se encontrar os valores de T1 e T2. Como Q segue uma distribuição uniforme em (1,5), então sua função de densidade de probabilidade será fq(x)=1/4, se 1≤x≤5 com fq(x)=0 caso contrário. Além disso, temos que 

P(q1≤Q≤q2)=0,75

o que implica que 

P(Q<q1)=P(Q>q2)=0,125

Logo

0,125=P(Q<q1)=∫fQ(x)dx variando de 1 a q1 = q1/4 - 1/4,donde concluímos que q1=1,5.

 De maneira análoga,

0,125=P(Q>q1)=∫fQ(x)dx=5/4 e assim q_2 = 4,5. Por fim, usando que Q=√θ^/2θ=9/θ

 segue que

q1≤Q≤q2

1,5 ≤ 9/θ ≤4,5

6≥θ≥2.

obs: 9/θ veio do fato de que Q=√θ^/2θ = √324/2θ = 18/2θ = 9/θ

Gabarito: Letra B

Quando a questão nos diz que quer um intervalo com 75% de confiança, ela quer dizer que em cada lado da área deve sobrar 12,5% (25%/2).

Para encontrarmos a altura fazemos:

base x h = 1

base = (b-a) = (5-1) = 4 

PS: b e a são o intervalo dado pela questão (1,5)

4h = 1

h = 1/4

Lado esquerdo:

base = (x - 1) 

(x - 1) x 1/4 = 0,125

x - 1 = 0,5

x1 = 1,5 (igual ao x do lado esquerdo da figura)

Lado direito:

base = (5 - x) 

(5 - x) x 1/4 = 0,125

5 - x = 0,5

x2 = 4,5 (igual ao x do lado direito na figura)

Agora vamos usar a1 e a2 na fórmula do enunciado no lugar de teta

raiz de 324 = 18

18/(2xa1) = 6

18/(2xa2) = 2