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http://www.icmc.usp.br/pessoas/ehlers/bayes/cap2.pdf

Sim, a distribuição Beta é, de fato, uma distribuição a priori conjugada para a distribuição geométrica e para a distribuição de Bernoulli.

Vamos entender o que isso significa:

1. Distribuição Geométrica: A distribuição geométrica modela o número de ensaios de Bernoulli independentes e idênticos necessários para obter o primeiro sucesso. A probabilidade de sucesso em cada tentativa é denotada por pp, e a distribuição geométrica é frequentemente usada para modelar o tempo até o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli.
2. Distribuição de Bernoulli: A distribuição de Bernoulli é uma distribuição de probabilidade discreta que modela um experimento com dois resultados possíveis: sucesso (com probabilidade p) ou fracasso (com probabilidade 1−p).

A distribuição Beta é uma distribuição de probabilidade contínua definida no intervalo [0, 1]. Ela é caracterizada por dois parâmetros, α e β, que são interpretados como contagens de sucessos e fracassos, respectivamente.

A distribuição Beta é considerada uma distribuição a priori conjugada para a distribuição geométrica e para a distribuição de Bernoulli. Isso significa que, quando usada como uma distribuição a priori para o parâmetro p (probabilidade de sucesso), a distribuição Beta produz uma distribuição a posteriori que é da mesma forma funcional que a distribuição a priori. Em outras palavras, a distribuição Beta é atualizada de forma analítica quando combinada com a verossimilhança da distribuição geométrica ou de Bernoulli, facilitando a inferência bayesiana.

Portanto, a distribuição Beta é uma escolha conveniente para a modelagem a priori de p em problemas envolvendo distribuições geométricas ou de Bernoulli, devido à sua propriedade de conjugação.

A segunda metade da questão é um resultado da inferência Bayesiana, que nos diz que  a distribuição beta é a distribuição conjugada a priori da distribuição de Bernoulli, distribuição binomial, distribuição binomial negativa e distribuição geométrica.