A Lei Orgânica Municipal poderá ser emendada mediante propos...

vice é apenas coadjuvante!

De acordo com o artigo 29 da Constituição Federal, a Lei Orgânica Municipal pode ser emendada mediante proposta de um terço, no mínimo, dos membros da Câmara Municipal ou do Prefeito Municipal. Portanto, a afirmação I está correta.

Além disso, a proposta de emenda à Lei Orgânica Municipal também pode ser subscrita por 5% do eleitorado do município, conforme o parágrafo único do artigo 29 da Constituição Federal. Portanto, a afirmação II também está correta.

Já as afirmações III e IV estão incorretas, pois não há previsão legal para que o Vice-Prefeito Municipal ou um quarto dos vereadores possam propor emendas à Lei Orgânica Municipal.

Por conta do princípio da simetria, o Município de Americana adota, nesse caso de emendas à lei orgânica, dois incisos previstos na CF 88 para emendas à CF (Artigo 60, incisos I e II). Sendo assim, na Lei Orgânica do Município de Americana, temos o seguinte:

Art. 37. A Lei Orgânica Municipal poderá ser emendada mediante proposta: 

I - de 1/3 (um terço), no mínimo, dos vereadores; (A CF fala em proposta de 1/3 dos membros da Câmara ou do Senado. Como no município há apenas uma casa legislativa, pelo princípio da simetria, o quórum é para o vereadores).

III - do Prefeito Municipal. (A CF possibilita o Presidente da República. Por conta do princípio da simetria, segue o chefe do Executivo, o prefeito).

Além disso, há um dispositivo aplicado de forma direta da CF/88, que é o inciso XXIII do artigo 29:

Art. 29. O Município reger-se-á por lei orgânica, votada em dois turnos, com o interstício mínimo de dez dias, e aprovada por dois terços dos membros da Câmara Municipal, que a promulgará, atendidos os princípios estabelecidos nesta Constituição, na Constituição do respectivo Estado e os seguintes preceitos:

XIII - iniciativa popular de projetos de lei de interesse específico do Município, da cidade ou de bairros, através de manifestação de, pelo menos, cinco por cento do eleitorado; 

Portanto, temos:

A Lei Orgânica Municipal poderá ser emendada mediante proposta:

I. do Prefeito Municipal; (CORRETO)

II. da população, subscrita por 5% (cinco por cento) do eleitorado do Município; (CORRETO)

III. de 1/4 (um quarto), no mínimo, dos vereadores; (Errado, o correto é 1/3).

IV. do Vice-Prefeito Municipal. (Não existe tal previsão, portanto, incorreto).