Questões de Vestibular Sobre geometria espacial em matemática

Uma empresa de logística trabalha com caixas de papelão padronizadas. Um dos modelos de caixa de papelão, denominado TIPO 1, tem dimensões 50cmx60cmx83cm conforme imagem a seguir:


Esta empresa utiliza um único modelo de palete com dimensões 1,20mx1,00m, conforme ilustração seguinte:


Por questões operacionais e de logística, a empresa definiu que cada palete deve ser carregado com no máximo três metros cúbicos ( 3m³ ) de volume. Além disso, as caixas não podem ser empilhadas sobre o palete, de forma a ultrapassarem as dimensões de sua base.
Com base nessas informações e levando em consideração que as caixas de papelão estejam com seu volume máximo, é CORRETO afirmar que o número máximo de caixas do TIPO 1 que podem ser carregadas em um palete é:

A figura abaixo representa dois vasilhames cilíndricos abertos na parte superior, o maior com raio da base R e o menor com raio da base r e altura 7/3 r. O cilindro maior possui um tubo de escoamento acoplado e está cheio de líquido exatamente até o orifício do tubo de escoamento sem que se perca nada. O cilindro menor possui em seu interior um cone sólido cuja altura é a medida do diâmetro de sua base, encaixando-se perfeitamente à base do cilindro.

Em um experimento, ao imergirmos completamente uma esfera de raio r dentro do cilindro com líquido, certa quantidade de líquido escoará para o vasilhame menor pelo tubo. 

Sobre o resultado do experimento, é possível afirmar que 

Durante uma feira de matemática em uma escola, os alunos resolveram oferecer lembrancinhas em forma de sólidos geométricos. Foram disponibilizados, para a confecção das lembrancinhas, moldes planificados nos formatos representados nas figuras.

Os sólidos que correspondem às planificações apresentadas, respectivamente, nas figuras 1, 2 e 3 são

Uma cisterna subterrânea para captação de água da chuva é composta por três partes, como mostra a figura abaixo. A e C são semiesferas equivalentes e B é um cilindro. Sabendo que 1dm³ = 1l.

Considerando a constante π igual a 22/7 , a capacidade da cisterna é, em litros, de aproximadamente:

Um recipiente no formato de um cilindro reto com raio interior da base medindo 4,00 cm e altura 20,00 cm contém uma coluna de água de altura 12,00 cm. Uma esfera é lançada dentro do recipiente e foi constatada que o nível de água subiu numa medida igual à terça parte do raio desta esfera.

Desta forma, considerando π=3, podemos afirmar que o volume da esfera, em cm³, é de:

• Um bloco maciço de madeira na forma de um prisma reto de base retangular medindo 18 cm por 24 cm e com 30 cm de altura, foi totalmente dividido em cubinhos iguais e de maior aresta possível. Supondo que não tenha ocorrido perda alguma no corte do bloco, o volume de um cubinho é

Um copo com formato cônico contém suco até a metade de sua altura H. Despeja-se o suco contido neste copo em outro copo, com formato cilíndrico, com a mesma altura H e o mesmo raio da base do copo cônico.

A figura a seguir ilustra a situação:

A altura atingida pelo suco após ter sido colocado no copo cilíndrico é

Os vértices de um cubo são pintados de azul ou de vermelho. A pintura dos vértices é feita de modo que cada aresta do cubo tenha pelo menos uma de suas extremidades pintada de vermelho.

O menor número possível de vértices pintados de vermelho nesse cubo é

Uma empresa de produtos alimentícios utiliza dois tipos de embalagens cilíndricas para seus produtos. Conforme a figura, a embalagem do tipo 1 tem raio da base igual a 4 cm e altura 10 cm, enquanto a do tipo 2 tem raio da base igual a 8 cm e altura igual a 5 cm.


Sabendo que o metro quadrado do material utilizado na fabricação dos dois tipos de embalagem custa R$ 40,00 e adotando π = 3, pode-se afirmar que o custo de produção da embalagem mais cara fica mais próximo de:

O hipercubo é um objeto que vive num espaço de dimensão 4. Não podemos enxergá-lo, mas podemos ter uma ideia de como ele seria olhando para a sua “sombra” no espaço de dimensão 3, da mesma maneira que podemos ter a ideia de como é um corpo humano (que é de dimensão 3), vendo sua sombra projetada na parede (dimensão 2) . Em espaços de alta dimensão sempre é possível fazer uma representação numa dimensão mais baixa.
A figura mostra uma representação tridimensional de um hipercubo. Nessa representação, podemos fazer algumas observações. Por exemplo, de cada vértice do hipercubo saem 4 arestas (num cubo saem 3, num quadrado saem 2). Temos bastante facilidade de, olhando para um cubo, perceber que ele é formado por 6 quadrados. Com um pequeno treino de olhar, podemos enxergar que o hipercubo é formado de cubos, num total de:

Após trabalhar os conteúdos de área e volume de figuras espaciais, o professor de matemática sugeriu um exercício, utilizado por Técnicos em Mecânica, para que os alunos percebessem uma das aplicações desses conteúdos. Nesse contexto, solicitou para os alunos calcularem o módulo do resfriamento de um cilindro.


Sabendo-se que o módulo do resfriamento é a divisão do volume total do cilindro pela sua área total, afirma-se que o módulo do resfriamento do cilindro fechado (com tampa) da figura ao lado é

Clara, preocupada com a qualidade da água, solicitou, ao engenheiro, que a caixa d’água da sua futura casa fosse cilíndrica, de fibrocimento de alta qualidade, inclusive a tampa, e tivesse a capacidade de armazenar 2 000 litros de água. Sabendo que o diâmetro da base da caixa d’água é de 2 m, a quantidade mínima de fibrocimento necessária para construí-la é de ____________ m².

O princípio de Cavalieri permite afirmar que um cilindro e um prisma, com áreas das bases equivalentes e mesma altura, possuem o mesmo volume. Uma empresa, preocupada com o meio ambiente, resolve rever as suas embalagens, com o objetivo de economizar matéria prima. Entre o cilindro de raio 3 cm e altura de 10 cm ou o prisma quadrangular de aresta da base 5,32 cm e altura de 10 cm, ela deve optar pelo:

A figura abaixo representa um pedaço de papelão que será dobrado sobre as linhas pontilhadas e colocado ao longo das bordas para formar uma caixa retangular. Os ângulos nos cantos do papelão são todos retos.

É correto afirmar que o volume da caixa é

As bases ABCD e ADGF das pirâmides ABCDE e ADGFE são retângulos e estão em planos perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma pirâmide regular de altura 3 cm e apótema lateral 5 cm, e que ADE é face lateral comum às duas pirâmides.


Se a aresta AF é 5% maior que a aresta AD, então o volume da pirâmide ADGFE, em cm³, é:

Para a obtenção do índice pluviométrico, uma das medidas de precipitação de água da chuva, utiliza-se um instrumento meteorológico denominado pluviômetro. A ilustração abaixo representa um pluviômetro com área de captação de 0,5 m² e raio interno do cilindro de depósito de 10 cm. Considere que cada milímetro de água da chuva depositado no cilindro equivale a 1 L/m².


No mês de janeiro, quando o índice pluviométrico foi de 90 mm, o nível de água no cilindro, em dm, atingiu a altura de, aproximadamente:

A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo, com uma base no solo, e de um semicilindro.


Dado que o raio da circunferência da base do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume do bloco de concreto, em cm³,

Num reservatório de óleo, em forma de cilindro reto, com diâmetro medindo 4m e altura 6,3m, está depositada uma quantidade de óleo que ocupa um terço de sua capacidade. Então, a quantidade de óleo depositada nesse reservatório, em litros, é:

A figura indica algumas das dimensões de um bloco de concreto formado a partir de um cilindro circular oblíquo, com uma base no solo, e de um semicilindro.


Dado que o raio da circunferência da base do cilindro oblíquo mede 10 cm, o volume do bloco de concreto, em cm³, é: